Equazione irrazionale letterale

[ragoo1]

Salve.

Sono alle prese con questa equazione irrazionale letterale a due parametri.

[math]2\sqrt{x+a^2-b}-\sqrt{x-b}=2a[/math]

Le soluzioni dovrebbero essere:

[math]b;\frac{16a^2+9b}{9}\text{ con }a\ge0[/math]

Sposto il radicale negativo a secondo membro:

[math]2\sqrt{x+a^2-b}=2a+\sqrt{x-b}[/math]

Campo di esistenza:

[math]\begin{cases}x+a^2-b\ge0\\ x-b\ge0\\ 2a+\sqrt{x-b}\ge0\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases}x\ge b-a^2\\ x\ge b\\ \sqrt{x-b}\ge-2a\end{cases}[/math]

Quest'ultima diventa:

[math]\sqrt{x-b}\ge-2a[/math]

[math]\begin{cases}x-b\ge0\\ -2a<0\end{cases}\cup\begin{cases}-2a\ge0\\ x-b\ge4a^2\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases}x\ge b\\ a>0\end{cases}\cup\begin{cases}a\le0\\ x\ge4a^2+b\end{cases}[/math]

Non ho ben capito come devo interpretare questo risultato. A naso, direi che le condizioni di esistenza variano a seconda del parametro a.

Se a>0:

[math]\begin{cases}x\ge b-a^2\\ x\ge b\\ x\ge b\end{cases}[/math]

Quindi:

[math]x\ge b[/math]

Se a<=0:

[math]\begin{cases}x\ge b-a^2\\ x\ge b\\ x\ge4a^2+b\end{cases}[/math]

Quindi:

[math]x\ge4a^2+b[/math]

Andrei avanti, ma vorrei chiarire questo fatto prima. Fin qui sono ancora in pista?

[fairidere]

Fissati $a,b\in\mathbb{R}$, l'equazione:

[math]2\sqrt{x-b+a^2}-\sqrt{x-b}=2a[/math]

ha senso per $x\ge b$ e in tal caso il membro sinistro è non negativo.

Pertanto, se \(a<0\) tale equazione è verificata per alcuna $x\in\mathbb{R}$, se $a=0$ ha come unica soluzione $x=b$, mentre se $a>0$ ambo i membri sono positivi e, quadrandoli, si ottiene:

[math]4(x-b+a^2)+(x-b)-4\sqrt{x-b+a^2}\sqrt{x-b}=4a^2[/math]

ossia:

[math]16(x-b+a^2)(x-b)=25(x-b)^2[/math]

equazione verificata per $x=b$ oppure per $x=b+\frac{16}{9}a^2$, accettabili.