Equazione irrazionale
Avrei da porvi un secondo dubbio, legato questa volta alle equazioni irrazionali.
Per svolgere una equazione del tipo $sqrt(g(x))=f(x)$ so che devo porre a sistema due condizioni che devono valere assieme:
$g(x)>=0$
$f(x)>=0$ che il mio libro chiama di concordanza
Fatto ciò posso elevare al quadratoe risolvere l'equazione che ne esce.
Il mio dubbio è incentrato sul fatto che non capisco perché questo elevamento a quadrato non introduca soluzioni. Ho capito che probabilmente discende da quel sistema che ho imposto, ma non capisco in quale modo sia collegato e in che modo quelle due condizioni mi impediscano di aggiungere soluzioni.
Vi ringrazio
Per svolgere una equazione del tipo $sqrt(g(x))=f(x)$ so che devo porre a sistema due condizioni che devono valere assieme:
$g(x)>=0$
$f(x)>=0$ che il mio libro chiama di concordanza
Fatto ciò posso elevare al quadratoe risolvere l'equazione che ne esce.
Il mio dubbio è incentrato sul fatto che non capisco perché questo elevamento a quadrato non introduca soluzioni. Ho capito che probabilmente discende da quel sistema che ho imposto, ma non capisco in quale modo sia collegato e in che modo quelle due condizioni mi impediscano di aggiungere soluzioni.
Vi ringrazio
Risposte
Prova a risponderti da solo/a: come sono fatti due numeri che hanno lo stesso quadrato? A che cosa serve la legge di concordanza dei segni?
Prova a rispondere a queste due domande e avrai la soluzione ai tuoi dubbi. Se non ci riesci ti aiuterò io.
Prova a rispondere a queste due domande e avrai la soluzione ai tuoi dubbi. Se non ci riesci ti aiuterò io.
Grazie ^^
Ho pensato che due numeri che hanno lo stesso quadrato sono opposti (o al massimo coincidenti se pari a 0). E la legge di concordanza dei segni garantisce che il secondo membro, poiché eguagliato a una radice che è sicuramente positiva, si impone positivo.
In effetti è vero che se elevo a quadrato x con x>0 escludo la soluzione negativa infatti $x->x^2->sqrt(x^2)=+-x$ escludo la soluzione che aggiungo per aver elevato.
Il problema mi sorge se avessi a secondo membro un qualcosa di più complesso della semplice x, ad esempio avendo $sqrt(ax+b)=ax^n+bx+c$ quado vado ad elevare avrei $ax+b=(ax^n+bx+c)^2$ ora io avevo imposto il secondo membro maggiore di zero e ho quindi trovato i valori delle x per cui questo è verificato. Ora "unifico" le due parti ottenendo: $-ax-b+(ax^n+bx+c)^2=0$ però non riesco a sfruttare il tuo suggerimento "come sono fatti due numeri che hanno lo stesso quadrato?" per dimostrarmi che l'aver escluso che la soluzione delle x per cui ax^n+bx+c era negativo mi garantisce che vado ad escludere la soluzione aggiunta elevando tutto quel popò di roba.
L'unica cosa che posso dire è che sto sommando una quantità negativa -(ax+bx) a (ax^n+bx+c)^2.
Ho pensato che due numeri che hanno lo stesso quadrato sono opposti (o al massimo coincidenti se pari a 0). E la legge di concordanza dei segni garantisce che il secondo membro, poiché eguagliato a una radice che è sicuramente positiva, si impone positivo.
In effetti è vero che se elevo a quadrato x con x>0 escludo la soluzione negativa infatti $x->x^2->sqrt(x^2)=+-x$ escludo la soluzione che aggiungo per aver elevato.
Il problema mi sorge se avessi a secondo membro un qualcosa di più complesso della semplice x, ad esempio avendo $sqrt(ax+b)=ax^n+bx+c$ quado vado ad elevare avrei $ax+b=(ax^n+bx+c)^2$ ora io avevo imposto il secondo membro maggiore di zero e ho quindi trovato i valori delle x per cui questo è verificato. Ora "unifico" le due parti ottenendo: $-ax-b+(ax^n+bx+c)^2=0$ però non riesco a sfruttare il tuo suggerimento "come sono fatti due numeri che hanno lo stesso quadrato?" per dimostrarmi che l'aver escluso che la soluzione delle x per cui ax^n+bx+c era negativo mi garantisce che vado ad escludere la soluzione aggiunta elevando tutto quel popò di roba.
L'unica cosa che posso dire è che sto sommando una quantità negativa -(ax+bx) a (ax^n+bx+c)^2.
Due numeri che hanno lo stesso quadrato sono uguali o opposti, se con la concordanza dei segni imponi che abbiano lo stesso segno, l'unica alternativa che rimane è che siano uguali. Ora che i due numeri siano scritti sottoforma di espressione nella variabile $x$ non cambia la sostanza:
$sqrt(g(x)) = f(x)$ diventa
$\{(g(x) = (f(x))^2),(g(x)>=0),(f(x)>=0):}$
Le altre operazioni che esegui per risolvere l'equazione $g(x) = (f(x))^2$ rientrano nei principi di equivalenza delle equazioni e quindi non aumentano né diminuiscono il numero delle soluzioni.
$sqrt(g(x)) = f(x)$ diventa
$\{(g(x) = (f(x))^2),(g(x)>=0),(f(x)>=0):}$
Le altre operazioni che esegui per risolvere l'equazione $g(x) = (f(x))^2$ rientrano nei principi di equivalenza delle equazioni e quindi non aumentano né diminuiscono il numero delle soluzioni.
Te ne sono davvero grato per avermi fatto ragionare su questa cosa. In effetti anche se ho detto in maniera tutta raffazzonata e scoordinata mi ha aiutato a capire subito la tua spiegazione lineare e limpida perché avendoci già pensato so di cosa si stesse parlando.
Certe volte mi chiedo se io sia l'unico ad avere dubbi così sciocchi, certe volte in matematica mi rendo conto di aver dubbi su cose che pensavo di aver capito tempo addietro. Chissà se sia normale o non ci sono proprio portato (mi sembra così naturale per voi)
Grazie mille per avermi dato una mano
Certe volte mi chiedo se io sia l'unico ad avere dubbi così sciocchi, certe volte in matematica mi rendo conto di aver dubbi su cose che pensavo di aver capito tempo addietro. Chissà se sia normale o non ci sono proprio portato (mi sembra così naturale per voi)
Grazie mille per avermi dato una mano
SIccome sei stata molto gentile e vorrei terminare il mio ripasso di questi concetti sulle equazioni vorrei poterti porre un'altra domanda.
Mi chiedevo se una equazione con modulo del tipo
|f(x)|=g(x) dovessi imporre la condizione di concordanza, mi spiego meglio e prendiamo un caso in cui g(x) non abbia valori assoluti nella sua espressione:
so che per risolve una equazione del genere dovrei dividerla nei due casi che mi escono dallo studio
f(x)>0
a questo punto mi troverei con due sistemi x>qualche valore, x
x>valore a (rende f(x) positiva)
f(x)=g(x)
sistema 2)
x
Quello che mi chiedo è se la condizione g(x) che ovviamente deve essere maggiore di zero poiché eguagliata a modulo (che per definizione è sempre positivo) sia già in quelche modo compresa nello studio fatto in precedenza, oppure se devo anche imporre nei due sistemi summenzionati che x>valore2 che rende g(x) positivo.
Cioè riprendendo l'esempio:
sistema 1)
x>valore (rende f(x) positiva)
x>valore2 (rende g(x) positiva)
f(x)=g(x)
sistema 2)
x
-f(x)=g(x)
Aggiungere cioè la parte in grassetto o essa è già incorporata nello studio precedente?
E' l'ultimo dubbio, per ora, che mi porto dietro dalle equazini
Mi chiedevo se una equazione con modulo del tipo
|f(x)|=g(x) dovessi imporre la condizione di concordanza, mi spiego meglio e prendiamo un caso in cui g(x) non abbia valori assoluti nella sua espressione:
so che per risolve una equazione del genere dovrei dividerla nei due casi che mi escono dallo studio
f(x)>0
a questo punto mi troverei con due sistemi x>qualche valore, x
x>valore a (rende f(x) positiva)
f(x)=g(x)
sistema 2)
x
Quello che mi chiedo è se la condizione g(x) che ovviamente deve essere maggiore di zero poiché eguagliata a modulo (che per definizione è sempre positivo) sia già in quelche modo compresa nello studio fatto in precedenza, oppure se devo anche imporre nei due sistemi summenzionati che x>valore2 che rende g(x) positivo.
Cioè riprendendo l'esempio:
sistema 1)
x>valore (rende f(x) positiva)
x>valore2 (rende g(x) positiva)
f(x)=g(x)
sistema 2)
x
-f(x)=g(x)
Aggiungere cioè la parte in grassetto o essa è già incorporata nello studio precedente?
E' l'ultimo dubbio, per ora, che mi porto dietro dalle equazini
La parte in grassetto NON è obbligatoria, in quanto il fatto di porre $g(x)$ uguale ad una quantità positiva la include. Tuttavia se le tue considerazioni fossero corrette potrebbe essere utile, ma hai fatto un classico errore piuttosto grave: nel secondo sistema hai posto $f(x)<0$, ma allora $-f(x)$ è positiva, quindi $g(x)$ va posta positiva in ogni caso, non negativa.
La posizione $g(x)>=0$ in entrambi i sistemi non è necessaria, ma a volte può rivelarsi utile, se noti che le due disuguaglianze sono in contrapposizione, puoi indicare subito che in quel caso l'equazione è impossibile.
Vedo che le mie considerazioni sono un po' confuse, mi spiego con un esempio:
$|x+1|=2x-3$
Primo caso
$x>= -1$
$x+1=2x-3 => x=4$ soluzione accettabile
Secondo caso
$x<-1$
ponendo $g(x)>=0$ vedo subito che la soluzione $x>=3/2$ è in contrapposizione con la prima disequazione, in questo caso l'equazione sarà impossibile, infatti $-x-1=2x-3 =>x=2/3$ la soluzione ottenuta non è accettabile per la prima disequazione.
La posizione $g(x)>=0$ in entrambi i sistemi non è necessaria, ma a volte può rivelarsi utile, se noti che le due disuguaglianze sono in contrapposizione, puoi indicare subito che in quel caso l'equazione è impossibile.
Vedo che le mie considerazioni sono un po' confuse, mi spiego con un esempio:
$|x+1|=2x-3$
Primo caso
$x>= -1$
$x+1=2x-3 => x=4$ soluzione accettabile
Secondo caso
$x<-1$
ponendo $g(x)>=0$ vedo subito che la soluzione $x>=3/2$ è in contrapposizione con la prima disequazione, in questo caso l'equazione sarà impossibile, infatti $-x-1=2x-3 =>x=2/3$ la soluzione ottenuta non è accettabile per la prima disequazione.
Per il momento mi pare proprio di non avere più dubbi!
Disponibilissima e gentilissima. Ti ringrazio moltissimo
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