Equazione in $CC$
Sto avendo un po' di difficoltà con questa equazione, da risolvere in $CC$: $x^4 + 6x^2 + 25 = 0$.
$x^2 = t => t^2+6t+25=0 => t=(-6+sqrt(-64))/2$. Quindi $t_1 =-3+4i$ e $t_2=-3-4i$.
Sostituisco:
$x^2= -3+4i => x= sqrt(-3+4i)$
$x^2= -3-4i => x= sqrt (-3-4i)$.
Prima di calcolare le radici quadrate dei due numeri complessi, volevo convertirli in forma trigonometrica (del tipo $r(cosalpha+ i sinalpha)$). Provo quindi a convertire il primo:
$r= sqrt((-3)^2 + 4^2) = 5$.
$tan(alpha) = 4/-3 => alpha = arctan(-4/3)$.
Ora, calcolando $alpha$ in quest'altra maniera: $cosalpha= a/r => cosalpha = -3/5 => alpha = arccos(-3/5)$ viene un risultato diverso, quindi suppongo stia sbagliando qualcosa.
EDIT:Se nell'equazione $cosalpha=-3/5$ considero la soluzione $-arccos(3/5) $ in effetti il risultato coincide con quello trovato calcolando $alpha$ tramite la tangente. Ovviamente considero questa soluzione perché $-3+4i$ si trova nel secondo quadrante del piano di Gauss.
Tuttavia mi sembra strano che $alpha$ non sia un angolo notevole...
$x^2 = t => t^2+6t+25=0 => t=(-6+sqrt(-64))/2$. Quindi $t_1 =-3+4i$ e $t_2=-3-4i$.
Sostituisco:
$x^2= -3+4i => x= sqrt(-3+4i)$
$x^2= -3-4i => x= sqrt (-3-4i)$.
Prima di calcolare le radici quadrate dei due numeri complessi, volevo convertirli in forma trigonometrica (del tipo $r(cosalpha+ i sinalpha)$). Provo quindi a convertire il primo:
$r= sqrt((-3)^2 + 4^2) = 5$.
$tan(alpha) = 4/-3 => alpha = arctan(-4/3)$.
Ora, calcolando $alpha$ in quest'altra maniera: $cosalpha= a/r => cosalpha = -3/5 => alpha = arccos(-3/5)$ viene un risultato diverso, quindi suppongo stia sbagliando qualcosa.
EDIT:Se nell'equazione $cosalpha=-3/5$ considero la soluzione $-arccos(3/5) $ in effetti il risultato coincide con quello trovato calcolando $alpha$ tramite la tangente. Ovviamente considero questa soluzione perché $-3+4i$ si trova nel secondo quadrante del piano di Gauss.
Tuttavia mi sembra strano che $alpha$ non sia un angolo notevole...
Risposte
A me sembra giusto quello che fai. Non è necessario che sia un angolo notevole per risolverla senza computer.
$x^2=(-3+-sqrt(9-25))/1=-3+-4i$
$x^2=sqrt(9+16)*[cos(arctg(-4/3)+pi)+isen(arctg(-4/3)+pi)]=5*[cos(arctg(-4/3)+pi)+isen(arctg(-4/3)+pi)]$
$x^2=sqrt(9+16)*[cos(arctg(4/3)+pi)+isen(arctg(4/3)+pi)]=5[cos(arctg(4/3)+pi)+isen(arctg(4/3)+pi)]$
ottieni:
$z=sqrt(5)*[cos((arctg(-4/3)+pi)/2+kpi)+isen((arctg(-4/3)+pi)/2 +kpi)] $
$z=sqrt(5)*[cos((arctg(4/3)+pi)/2+kpi)+isen((arctg(4/3)+pi)/2 +kpi)]$
con
$k=0,1$
A questo punto, se vuoi esprimere in forma algebrica potresti, ad esempio, utilizzare le formule di bisezione.
Parti dal presupposto che a te non occorre conoscere il valore dell'arco corrispondente a arctg(4/3), ma per te è sufficiente conoscere il valore di delle sue funzioni goniometriche.
Bene esistono due formule che ti aiutano in tal senso, che sono le seguenti:
$sen(x)=(tg(x))/(+-sqrt(1+tg^2(x))$,
$cos(x)=1/sqrt(1+tg^2(x))$
Lo fai solo per uno degli archi. Poi ricavi l'altro dato che ogni numero complesso è anche un operatore di rotazione.
Te lo faccio per il primo, così capisci cosa voglio dire.
$arctg(4/3)$ appartiene al primo quadrante. Sen e cos sono positivi. applico le due formule:
$sen(arctg(4/3))=(4/3)/(+-sqrt(1+16/9))=4/5$
$cos(arctg(4/3))=+-sqrt(1-16/25)=3/5$
a questo punto usi le formule di bisezione:
$sen(1/2*arctg(4/3)+pi/2)=sqrt((1+cos(arctg(4/3)))/2)=sqrt((1+3/5)/2)=2/sqrt(5)$
$cos(1/2*arctg(4/3)+pi/2)=-sqrt(1-4/5)=-1/sqrt(5)$
quindi, se denotiamo con $z_(0)$ la prima soluzione abbiamo:
$z_0=sqrt(5)*(-1/sqrt(5)+ i*2/sqrt(5))=-1+2i$
Per calcolare $z_(k=1)$ basta che ruoti di $180°=pi$ il vettore appena trovato, moltiplicandolo per $cos(pi)+isen(pi)=-1$
Quindi otteniamo le prime due radici:
$z=-1+2i vv z=1-2i$
Mancano ancora due radici, provenienti da quest'altra:
$z=sqrt(5)*[cos((arctg(-4/3)+pi)/2+kpi)+isen((arctg(-4/3)+pi)/2 +kpi)] $
Ciao!
$x^2=(-3+-sqrt(9-25))/1=-3+-4i$
$x^2=sqrt(9+16)*[cos(arctg(-4/3)+pi)+isen(arctg(-4/3)+pi)]=5*[cos(arctg(-4/3)+pi)+isen(arctg(-4/3)+pi)]$
$x^2=sqrt(9+16)*[cos(arctg(4/3)+pi)+isen(arctg(4/3)+pi)]=5[cos(arctg(4/3)+pi)+isen(arctg(4/3)+pi)]$
ottieni:
$z=sqrt(5)*[cos((arctg(-4/3)+pi)/2+kpi)+isen((arctg(-4/3)+pi)/2 +kpi)] $
$z=sqrt(5)*[cos((arctg(4/3)+pi)/2+kpi)+isen((arctg(4/3)+pi)/2 +kpi)]$
con
$k=0,1$
A questo punto, se vuoi esprimere in forma algebrica potresti, ad esempio, utilizzare le formule di bisezione.
Parti dal presupposto che a te non occorre conoscere il valore dell'arco corrispondente a arctg(4/3), ma per te è sufficiente conoscere il valore di delle sue funzioni goniometriche.
Bene esistono due formule che ti aiutano in tal senso, che sono le seguenti:
$sen(x)=(tg(x))/(+-sqrt(1+tg^2(x))$,
$cos(x)=1/sqrt(1+tg^2(x))$
Lo fai solo per uno degli archi. Poi ricavi l'altro dato che ogni numero complesso è anche un operatore di rotazione.
Te lo faccio per il primo, così capisci cosa voglio dire.
$arctg(4/3)$ appartiene al primo quadrante. Sen e cos sono positivi. applico le due formule:
$sen(arctg(4/3))=(4/3)/(+-sqrt(1+16/9))=4/5$
$cos(arctg(4/3))=+-sqrt(1-16/25)=3/5$
a questo punto usi le formule di bisezione:
$sen(1/2*arctg(4/3)+pi/2)=sqrt((1+cos(arctg(4/3)))/2)=sqrt((1+3/5)/2)=2/sqrt(5)$
$cos(1/2*arctg(4/3)+pi/2)=-sqrt(1-4/5)=-1/sqrt(5)$
quindi, se denotiamo con $z_(0)$ la prima soluzione abbiamo:
$z_0=sqrt(5)*(-1/sqrt(5)+ i*2/sqrt(5))=-1+2i$
Per calcolare $z_(k=1)$ basta che ruoti di $180°=pi$ il vettore appena trovato, moltiplicandolo per $cos(pi)+isen(pi)=-1$
Quindi otteniamo le prime due radici:
$z=-1+2i vv z=1-2i$
Mancano ancora due radici, provenienti da quest'altra:
$z=sqrt(5)*[cos((arctg(-4/3)+pi)/2+kpi)+isen((arctg(-4/3)+pi)/2 +kpi)] $
Ciao!
"HowardRoark":
volevo convertirli in forma trigonometrica (del tipo r(cosα+isinα) r(cosalpha+ i sinalpha)).
Una piccola nota, nel caso volessi rinunciare a questo appunto che hai fatto:
$x^4+6x^2+25=(x^2+5)^2-4x^2=(x^2-2x+5)*(x^2+2x+5)$ e puoi applicare la L.A.P.
Sto cercando di risolverla seguendo il mio ragionamento. Intanto però ti chiedo: la forma trigonometrica del numero, anziché essere questa
Non dovrebbe essere $5*[cos(arctan -4/3) + isin (arctan -4/3)]$? Ho semplicemente applicato la formula $r(cosalpha + i sinalpha)$...
No, scusa, in questo caso la soluzione di $tanalpha= -4/3$ è $alpha= arctan(-4/3) + pi$...
"SirDanielFortesque":,
$x^2=sqrt(9+16)*[cos(arctg(-4/3)+pi)+isen(arctg(-4/3)+pi)]$
Non dovrebbe essere $5*[cos(arctan -4/3) + isin (arctan -4/3)]$? Ho semplicemente applicato la formula $r(cosalpha + i sinalpha)$...
No, scusa, in questo caso la soluzione di $tanalpha= -4/3$ è $alpha= arctan(-4/3) + pi$...
Faccio rilevare che quadrando due numeri complessi opposti $z_(1,2)=+-rho(cos vartheta+isin vartheta)$ si ottiene, in ambo i casi, il numero complesso: $z_(1,2)^2=rho^2(cos 2 vartheta+isin 2vartheta)$ .
Pertanto i due numeri il cui quadrato è: $z^2=-3+4i=5(-3/5+i 4/5)=5(cos alpha+i sin alpha)" "$, dove ovviamente è: $alpha=arccos(-3/5)" "$, sono:
Con le formule di bisezione si trovano: $"cos" alpha/2=sqrt((1+cosalpha)/2)=sqrt((1-3/5)/2)=1/sqrt(5)" "$ e : $"sin" alpha/2=2/sqrt(5)" "$, pertanto si conclude ottenendo: $z_(1,2)=+-sqrt(5)(1/sqrt(5)+(2i)/sqrt(5))=+-(1+2i)" "$.
Stessa procedura per l'altro valore di $z^2$ .
Pertanto i due numeri il cui quadrato è: $z^2=-3+4i=5(-3/5+i 4/5)=5(cos alpha+i sin alpha)" "$, dove ovviamente è: $alpha=arccos(-3/5)" "$, sono:
$z_(1,2)=+-sqrt(5)("cos" alpha/2+i" sin" alpha/2)" "$.
Con le formule di bisezione si trovano: $"cos" alpha/2=sqrt((1+cosalpha)/2)=sqrt((1-3/5)/2)=1/sqrt(5)" "$ e : $"sin" alpha/2=2/sqrt(5)" "$, pertanto si conclude ottenendo: $z_(1,2)=+-sqrt(5)(1/sqrt(5)+(2i)/sqrt(5))=+-(1+2i)" "$.
Stessa procedura per l'altro valore di $z^2$ .
"HowardRoark":,
Sto cercando di risolverla seguendo il mio ragionamento. Intanto però ti chiedo: la forma trigonometrica del numero, anziché essere questa
[quote="SirDanielFortesque"]
$x^2=sqrt(9+16)*[cos(arctg(-4/3)+pi)+isen(arctg(-4/3)+pi)]$
Non dovrebbe essere $5*[cos(arctan -4/3) + isin (arctan -4/3)]$? Ho semplicemente applicato la formula $r(cosalpha + i sinalpha)$...
No, scusa, in questo caso la soluzione di $tanalpha= -4/3$ è $alpha= arctan(-4/3) + pi$...[/quote]
No perché il codominio dell'arcotangente è fissato $(-pi/2,pi/2)$, quindi se in $z=a+ib$ si ha $a<0$, allora devi riportarti nel quadrante giusto aggiungendo $180°$.
"SirDanielFortesque":
No perché il codominio dell'arcotangente è fissato $(-pi/2,pi/2)$, quindi se in $z=a+ib$ si ha $a<0$, allora devi riportarti nel quadrante giusto aggiungendo $180°$.
Ok, tutto chiaro! Ti ringrazio per la spiegazione esaustiva.
Comunque secondo me è meglio evitare di scomodare la forma trigonometrica. Ti consiglio di fattorizzare come sopra e poi applicare la formula per le equazioni di II grado, quando possibile naturalmente.
"SirDanielFortesque":
Comunque secondo me è meglio evitare di scomodare la forma trigonometrica. Ti consiglio di fattorizzare come sopra e poi applicare la formula per le equazioni di II grado, quando possibile naturalmente.
Credo proprio che il libro si aspettasse che la risolvessi fattorizzando infatti.
Il coseno di un arcotangente è una scritta allucinante: meglio usare il metodo suggerito da Pallit o uno dei due che indico. Il primo è standardizzato; il secondo è di mia invenzione ma lo garantisco sempre applicabile e lo ritengo comodo.
Mi riferirò sempre alla soluzione di $x^2=-3+4i$; l'altra si risolve in modo analogo.
Primo metodo.
Posto $x=u+iv$, l'equazione diventa
$u^2+2iuv-v^2=-3+4i->{(u^2-v^2=-3),(2uv=4):}$
e basta ora risolvere il sistema.
Secondo metodo
Consiste nel ricordare la formula per i radicali doppi, che (in campo reale) è
$sqrt(a+-ksqrt b)=sqrt((a+c)/2)+-sqrt((a-c)/2)" "$ essendo $" "c=sqrt(a^2-(ksqrtb)^2)$
Poiché $i$ è una radice, posso applicarla con due piccole modifiche: al tutto premetto il segno $+-$ e continuo anche se $c$ è irrazionale. Nel nostro caso:
$c=sqrt((-3)^2-(4i)^2)=sqrt(9+16)=5$
e quindi
$sqrt(-3+4i)=+-(sqrt((-3+5)/2)+sqrt((-3-5)/2))=+-(sqrt1+sqrt(-4))=+-(1+2i)$
Mi riferirò sempre alla soluzione di $x^2=-3+4i$; l'altra si risolve in modo analogo.
Primo metodo.
Posto $x=u+iv$, l'equazione diventa
$u^2+2iuv-v^2=-3+4i->{(u^2-v^2=-3),(2uv=4):}$
e basta ora risolvere il sistema.
Secondo metodo
Consiste nel ricordare la formula per i radicali doppi, che (in campo reale) è
$sqrt(a+-ksqrt b)=sqrt((a+c)/2)+-sqrt((a-c)/2)" "$ essendo $" "c=sqrt(a^2-(ksqrtb)^2)$
Poiché $i$ è una radice, posso applicarla con due piccole modifiche: al tutto premetto il segno $+-$ e continuo anche se $c$ è irrazionale. Nel nostro caso:
$c=sqrt((-3)^2-(4i)^2)=sqrt(9+16)=5$
e quindi
$sqrt(-3+4i)=+-(sqrt((-3+5)/2)+sqrt((-3-5)/2))=+-(sqrt1+sqrt(-4))=+-(1+2i)$
Si ma se l'equazione fosse stata $z^3=(2+i)^3$ fare il sistema sarebbe stato troppo difficile.
E infatti il metodo del sistema viene usato solo per il calcolo di radici quadrate.
La tua osservazione origina un interessante quesito: "Senza notare che $(2+i)^3=2+11i$ e volendo un risultato scritto senza funzioni goniometriche ed in forma esatta, come si può risolvere l'equazione $z^3=2+11i$ ?" Confesso che per ora vedo solo soluzioni molto artificiose.
La tua osservazione origina un interessante quesito: "Senza notare che $(2+i)^3=2+11i$ e volendo un risultato scritto senza funzioni goniometriche ed in forma esatta, come si può risolvere l'equazione $z^3=2+11i$ ?" Confesso che per ora vedo solo soluzioni molto artificiose.
"giammaria":
Senza notare che $(2+i)^3 =2+11i$
Sbirciando questo post due-quesiti-che-mi-tolgono-il-sonno-t72250.html
come dice Amelia si arriva sempre ad un equazione di terzo grado:
$4t^3-3t-2/(5*sqrt(5))=0$ che da un lato ha come soluzione $t=cos(1/3arctg(11/2))=1/sqrt5$ ma dall'altro risolverla carta e penna direi che non è agevole.
Quale sarebbe il tuo metodo, per quanto artificioso?
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Praticamente ho pensato di trovare una delle tre radici cubiche di $2+11i$, e poi ricavare le altre moltiplicando per $-1/2+sqrt(3)/2*i$.
Per esempio calcolare:
$z=sqrt(5)*[cos(1/3*arctg(11/2))+i*sen(1/3*arctg(11/2))]$, che usando il valore del coseno di quell'angolo $1/sqrt(5)$ trovato sopra effettivamente mi porta a $2+i$
Il mio metodo consiste nel trovare un'equazione (di terzo grado) avente una soluzione intera e quindi facilmente risolubile con Ruffini; in questo caso è possibile, ma in generale no.
Comincio col porre $z=u+iv$ ed arrivo al sistema
${(u^3-3uv^2=2),(3u^2v-v^3=11):}$
Per risolverlo mi aiuto con un'equazione ausiliaria, ottenuta ragionando sui moduli. Si ha
$|z^3|=sqrt(2^2+11^2)=sqrt(5^3)->|z|=sqrt5->u^2+v^2=5$
Da questa equazione ricavo $v^2$ e lo sostituisco nella prima equazione del sistema, che diventa
$u^3-3u(5-u^2)=2-> 4u^3-15u-2=0->(u-2)(4u^2+8u+1)=0$
e ricavo i tre valori di $u$. Per avere i corrispondenti valori di $v$ conviene moltiplicare l'equazione ausiliaria per $v$ e sommarla alla seconda equazione del sistema, ottenendo
$v(u^2+v^2)+3u^2v-v^3=5v+11->4u^2v-5v=11->v=11/(4u^2-5)$
e completo i calcoli.
Naturalmente se si fosse potuto dire subito che una soluzione era $z=2+i$, per ottenerle tutte bastava moltiplicarla per le radici dell'unità, nel modo da te indicato.
Comincio col porre $z=u+iv$ ed arrivo al sistema
${(u^3-3uv^2=2),(3u^2v-v^3=11):}$
Per risolverlo mi aiuto con un'equazione ausiliaria, ottenuta ragionando sui moduli. Si ha
$|z^3|=sqrt(2^2+11^2)=sqrt(5^3)->|z|=sqrt5->u^2+v^2=5$
Da questa equazione ricavo $v^2$ e lo sostituisco nella prima equazione del sistema, che diventa
$u^3-3u(5-u^2)=2-> 4u^3-15u-2=0->(u-2)(4u^2+8u+1)=0$
e ricavo i tre valori di $u$. Per avere i corrispondenti valori di $v$ conviene moltiplicare l'equazione ausiliaria per $v$ e sommarla alla seconda equazione del sistema, ottenendo
$v(u^2+v^2)+3u^2v-v^3=5v+11->4u^2v-5v=11->v=11/(4u^2-5)$
e completo i calcoli.
Naturalmente se si fosse potuto dire subito che una soluzione era $z=2+i$, per ottenerle tutte bastava moltiplicarla per le radici dell'unità, nel modo da te indicato.
Direi che funziona. Grazie.
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