Equazione goniometrica: problema con le soluzioni
Buongiorno a tutti. Sono nuova e spero di partecipare attivamente al forum in futuro, a cui ho avuto il piacere di iscrivermi oggi. Ho un quesito da porvi, cui probabilmente c'è dietro qualche aspetto di teoria che non mi è chiaro. Riguarda la soluzione della seguente equazione goniometrica.
sin(4x) - cos(4x) - 1 = 0
le cui soluzioni, stando al libro di testo, sarebbero:
1. π/8 + kπ/2
2. π/4 + kπ/2
Il mio tentativo di risolverla (che riproduco di seguito) mi ha condotta purtroppo a una sola delle due soluzioni suggerite.
Ho posto 4x = y
ottenendo anzitutto
sin(y) - cos(y) - 1 =0
Ho quindi applicato le formule parametriche, in tal modo:
cos(y)= (1-t²)/(1+t²)
sen(y)= 2t/(1+t²)
essendo t come di consueto tan(α/2) con α da qualificare.
Alla fine, vista la semplicità dell'equazione, sono con certezza pervenuta a t=1, da cui: tan(y/2)=1
A questo punto mi è parso naturale sostituire 4x a y, ottenendo: tan(2x)=1
Da cui la soluzione unica: π/8 + kπ/2
Crucciandomi sul fatto di non aver ottenuto l'altra soluzione suggerita, ho pensato di procedere in modo diverso, usando le formule di duplicazione:
sin(2α) = 2*sin(α)*cos(α)
cos(2α) = 2*cos²(α) − 1
da cui:
sin(4x) − cos(4x) − 1 = 0
2*sin(2x)*cos(2x) − (2*cos²(2x) − 1) − 1 = 0
2*sin(2x)*cos(2x) − 2*cos²(2x) = 0
2*cos(2x)*[sin(2x) − cos(2x)] = 0
In tal caso pervenendo effettivamente a:
cos(2x) = 0
2x = π/2 + kπ
x = π/4 + kπ/2
e
sin(2x) = cos(2x)
tan(2x) = 1
2x = π/4 + kπ
x = π/8 + kπ/2
Mi sono fermata qui. Mi chiedo cosa abbia sbagliato nel primo approccio (con sostituzione e contestuale applicazione delle formule parametriche) rispetto al percorso del secondo. Dato che il mio scopo è avere strumenti il più possibile versatili, a fronte di prove differenti (ed esercizi più complicati... ad esempio con sex o cos di 5x o 7x...), spero che possiate aiutarmi sia nel merito dell'esercizio sia sulla teoria più generale collegata. Grazie!
sin(4x) - cos(4x) - 1 = 0
le cui soluzioni, stando al libro di testo, sarebbero:
1. π/8 + kπ/2
2. π/4 + kπ/2
Il mio tentativo di risolverla (che riproduco di seguito) mi ha condotta purtroppo a una sola delle due soluzioni suggerite.
Ho posto 4x = y
ottenendo anzitutto
sin(y) - cos(y) - 1 =0
Ho quindi applicato le formule parametriche, in tal modo:
cos(y)= (1-t²)/(1+t²)
sen(y)= 2t/(1+t²)
essendo t come di consueto tan(α/2) con α da qualificare.
Alla fine, vista la semplicità dell'equazione, sono con certezza pervenuta a t=1, da cui: tan(y/2)=1
A questo punto mi è parso naturale sostituire 4x a y, ottenendo: tan(2x)=1
Da cui la soluzione unica: π/8 + kπ/2
Crucciandomi sul fatto di non aver ottenuto l'altra soluzione suggerita, ho pensato di procedere in modo diverso, usando le formule di duplicazione:
sin(2α) = 2*sin(α)*cos(α)
cos(2α) = 2*cos²(α) − 1
da cui:
sin(4x) − cos(4x) − 1 = 0
2*sin(2x)*cos(2x) − (2*cos²(2x) − 1) − 1 = 0
2*sin(2x)*cos(2x) − 2*cos²(2x) = 0
2*cos(2x)*[sin(2x) − cos(2x)] = 0
In tal caso pervenendo effettivamente a:
cos(2x) = 0
2x = π/2 + kπ
x = π/4 + kπ/2
e
sin(2x) = cos(2x)
tan(2x) = 1
2x = π/4 + kπ
x = π/8 + kπ/2
Mi sono fermata qui. Mi chiedo cosa abbia sbagliato nel primo approccio (con sostituzione e contestuale applicazione delle formule parametriche) rispetto al percorso del secondo. Dato che il mio scopo è avere strumenti il più possibile versatili, a fronte di prove differenti (ed esercizi più complicati... ad esempio con sex o cos di 5x o 7x...), spero che possiate aiutarmi sia nel merito dell'esercizio sia sulla teoria più generale collegata. Grazie!
Risposte
Benvenuta nel forum ed, innanzitutto, complimenti per la chiarezza e precisione nella formulazione del tuo problema e dei percorsi utilizzati per la sua soluzione. In questo modo rendi più semplice cercare di aiutarti. Se provi a racchiudere le formule che scrivi fra due segni di dollaro ed utilizzi il pulsante 'anteprima' per esaminare come il tutto apparirà sul sito, arriverai alla perfezione.
Allora; lo scoglio che hai incontrato non deriva da errori tuoi, ma da precise proprietà matematiche. Le funzioni seno e coseno esistono per qualsiasi valore dell'angolo, mentre invece, la tangente e la cotangente non esistono quando il loro denominatore vale $ 0 $. La tangente non esiste quando il coseno vale $ 0 $; quindi per gli angoli $ \pi/2 + k\pi $, la cotangente quando il seno vale $ 0 $, quindi in $ k\pi $.
Nel passare dall'iniziale equazione in seno e coseno a quella ottenuta applicando le formule parametriche, dove $ t $è il valore di $ tan(\alpha/2) $, questo comporta, quando fra le soluzioni vi siano proprio quegli angoli 'cattivi', un abbassamento di grado dell'equazione risolvente; normalmente di secondo grado se quella di partenza era lineare. Questo è il segnale da cogliere per 'verificare' se gli angoli il cui coseno vale $ 0 $ costituivano una soluzione.
La medesima cosa succede, in geometria analitica quando, ad esempio, cerchi in un fascio di rette quelle che soddisfano un'assegnata condizione. Se hai scritto il fascio nella forma $ y=mx+n $, quando la retta parallela all'asse delle ordinate è fra le soluzioni, non la potrai trovare e diminuirà il grado dell'equazione risolvente.
Ciao
B.
Allora; lo scoglio che hai incontrato non deriva da errori tuoi, ma da precise proprietà matematiche. Le funzioni seno e coseno esistono per qualsiasi valore dell'angolo, mentre invece, la tangente e la cotangente non esistono quando il loro denominatore vale $ 0 $. La tangente non esiste quando il coseno vale $ 0 $; quindi per gli angoli $ \pi/2 + k\pi $, la cotangente quando il seno vale $ 0 $, quindi in $ k\pi $.
Nel passare dall'iniziale equazione in seno e coseno a quella ottenuta applicando le formule parametriche, dove $ t $è il valore di $ tan(\alpha/2) $, questo comporta, quando fra le soluzioni vi siano proprio quegli angoli 'cattivi', un abbassamento di grado dell'equazione risolvente; normalmente di secondo grado se quella di partenza era lineare. Questo è il segnale da cogliere per 'verificare' se gli angoli il cui coseno vale $ 0 $ costituivano una soluzione.
La medesima cosa succede, in geometria analitica quando, ad esempio, cerchi in un fascio di rette quelle che soddisfano un'assegnata condizione. Se hai scritto il fascio nella forma $ y=mx+n $, quando la retta parallela all'asse delle ordinate è fra le soluzioni, non la potrai trovare e diminuirà il grado dell'equazione risolvente.
Ciao
B.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo