Equazione goniometrica lineare "irrisolvibile"...

[ghostface]

Ciao ragazzi, quast'anno ho iniziato a studiare trigonometria, tra le altrre cose, e in generale sta procedendo tutto abbastanza bene fino a quando ho iniziato a fare le equazioneìi goniometriche. Sono riuscito a rioìsolvere la prima del libro, ma già la seconda non riesco a riolverla, per quanto banale essa sia.
Ho utilizzato il metodo delle "formule parametriche" che sostituisco al seno e coseno. Vi riporto il testo:

cos x - sen x = (sqrt 2)

Nonostante abbia tentato di risolverla già una decina di volte, sembra che la formula non funzioni. Potete dirmi perchè? Grazie.

[Studente Anonimo]

Il procedimento più immediato è quello dell'angolo aggiunto:

$cosx-senx=sqrt2 rarr$

$rarr sqrt2/2cosx-sqrt2/2senx=1 rarr$

$rarr cos(x+\pi/4)=1 rarr$

$rarr x+\pi/4=2k\pi rarr$

$rarr x=-\pi/4+2k\pi$

Se si procede utilizzando le parametriche:

$cosx-senx=sqrt2 rarr$

$rarr (1-t^2)/(1+t^2)-(2t)/(1+t^2)=sqrt2 rarr$

$rarr (sqrt2+1)t^2+2t+sqrt2-1=0 rarr$

$rarr t=1-sqrt2 rarr$

$rarr x/2=-\pi/8+k\pi rarr$

$rarr x=-\pi/4+2k\pi$

Inoltre, utilizzando le parametriche si potrebbero perdere le seguenti soluzioni:

$x=\pi+2k\pi$

Ma non è questo il caso, basta fare una verifica. Infine, si potrebbe risolvere anche il seguente sistema:

$\{(cosx-senx=sqrt2),(cos^2x+sen^2x=1):} rarr \{(cosx=sqrt2/2),(senx=-sqrt2/2):}$

probabilmente il procedimento meno immediato, sempre che non si decida una veloce risoluzione grafica, visto che la retta e la circonferenza sono tangenti in $cosx=sqrt2/2 ^^ senx=-sqrt2/2$, ma è necessaria un po' di esperienza. In definitiva, un'equazione lineare non omogenea in $cosx$ e $senx$ può essere risolta in 4 modi (quella omogenea ne contempla addirittura un quinto, dividendo per $cosx$ si ottiene un'equazione contenente solo $tgx$):

1. Angolo aggiunto.

2. Formule parametriche.

3. Sistema: risoluzione algebrica.

4. Sistema: risoluzione grafica.

Solo l'esperienza può suggerire quale metodo sia meglio adottare.