Equazione goniometrica lineare in seno e coseno, non capisco una cosa
Salve, ho l'equazione $ sqrt( 3) $senx + cosx + 1 = 0
I risultati del libro sono due: [ x = $pi $+ $2kpi$] ; [ x= $ - pi /3 $ + $2kpi$].
Applicando le formule parametriche, mi trovo il secondo risultato. Come faccio a trovare il primo? Grazie
I risultati del libro sono due: [ x = $pi $+ $2kpi$] ; [ x= $ - pi /3 $ + $2kpi$].
Applicando le formule parametriche, mi trovo il secondo risultato. Come faccio a trovare il primo? Grazie
Risposte
A occhio 
In che modo?
"axpgn":
A occhio
In che modo?
Allora ...
$sqrt(3)sin(x)+cos(x)=-1$
Sappiamo che quando il seno è pari a zero il coseno è uguale a uno o meno uno, perciò ... (col seno a zero eliminiamo la radice, quindi non va bene il viceversa ...)
$sqrt(3)sin(x)+cos(x)=-1$
Sappiamo che quando il seno è pari a zero il coseno è uguale a uno o meno uno, perciò ... (col seno a zero eliminiamo la radice, quindi non va bene il viceversa ...)
"axpgn":
Allora ...
$sqrt(3)sin(x)+cos(x)=-1$
Sappiamo che quando il seno è pari a zero il coseno è uguale a uno o meno uno, perciò ... (col seno a zero eliminiamo la radice, quindi non va bene il viceversa ...)
Non c'è un modo algebrico o grafico per trovarmi quel risultato?
Beh ... grafico basta disegnare la funzione e vedi dove si azzera oppure disegnarne due e vedere dove si intersecano ... algebricamente non mi viene niente ... ma il metodo con cui hai trovato l'altra soluzione non va bene?
Posta quello che hai fatto ...
Posta quello che hai fatto ...
"axpgn":
Beh ... grafico basta disegnare la funzione e vedi dove si azzera oppure disegnarne due e vedere dove si intersecano ... algebricamente non mi viene niente ... ma il metodo con cui hai trovato l'altra soluzione non va bene?
Posta quello che hai fatto ...
Ecco come mi trovo il secondo risultato, ma vorrei capire il primo
Con le formule parametriche devi stare attento a dove è definita $tan(x/2)$ e guarda caso non è definita proprio in $x=pi+2kpi$; perciò se ci sono soluzioni in quei punti non le troverai mai con quel metodo, di conseguenza devi investigare direttamente cosa accade in quei punti, se sono delle soluzioni o meno (che è poi quello che ho fatto io ...)
"axpgn":
Con le formule parametriche devi stare attento a dove è definita $tan(x/2)$ e guarda caso non è definita proprio in $x=pi+2kpi$; perciò se ci sono soluzioni in quei punti non le troverai mai con quel metodo, di conseguenza devi investigare direttamente cosa accade in quei punti, se sono delle soluzioni o meno (che è poi quello che ho fatto io ...)
Vabbene, quindi come dovrei procedere? Se potresti spiegarmelo passo passo, mi sarebbe utile
Te l'ho detto ... vai a vedere cosa succede in quei punti (che poi sono solo due cioè $0$ e $pi$)
Lo zero non è una soluzione mentre $pi$ lo è ...
Lo zero non è una soluzione mentre $pi$ lo è ...
$ sqrt(3)sin(x)+cos(x)=-1 $
$2*(sqrt(3)/2sinx+1/2cosx)=-1$
$2*sin(x+pi/6)=-1$
$sin(x+pi/6)=-1/2$
$x+pi/6=-pi/6 -> x=-pi/3+2kpi$
$x+pi/6=7pi/6$ -> $x=pi+2kpi$
$2*(sqrt(3)/2sinx+1/2cosx)=-1$
$2*sin(x+pi/6)=-1$
$sin(x+pi/6)=-1/2$
$x+pi/6=-pi/6 -> x=-pi/3+2kpi$
$x+pi/6=7pi/6$ -> $x=pi+2kpi$
In generale, quando hai una equazione del tipo $asinx+bcosx=c$, conviene trasformarla nel seguente modo:
Moltiplicare e dividere a sinistra per $sqrt(a^2+b^2)$:
$sqrt(a^2+b^2)(a/sqrt(a^2+b^2)sinx+b/sqrt(a^2+b^2)cosx)=c$
Ed in seguito porre il risultato tra parentesi nella forma:
$sqrt(a^2+b^2)*sin(x+k)=c $
oppure:
$sqrt(a^2+b^2)*cos(x+k)=c$
Moltiplicare e dividere a sinistra per $sqrt(a^2+b^2)$:
$sqrt(a^2+b^2)(a/sqrt(a^2+b^2)sinx+b/sqrt(a^2+b^2)cosx)=c$
Ed in seguito porre il risultato tra parentesi nella forma:
$sqrt(a^2+b^2)*sin(x+k)=c $
oppure:
$sqrt(a^2+b^2)*cos(x+k)=c$
Scusami Vulplasir, tutto molto bello ma se non si riesce a notare che il seno deve essere zero e il coseno meno uno, mi dici come ci si arriva a $k$? 
$k$ in $sqrt(a^2+b^2)*sin(x+k)$ è tale che $k=arcsin(b/sqrt(a^2+b^2))$ e $k=arccos(a/sqrt(a^2+b^2))$
Non capisco cosa c'entrino il seno uguale a zero e il coseno a meno uno
Non capisco cosa c'entrino il seno uguale a zero e il coseno a meno uno
Non lo devi spiegare a me ... 
.. e se rileggi il thread dall'inizio capirai ...
.. e se rileggi il thread dall'inizio capirai ...
Provo con una mia spiegazione: un'equazione del tipo $asinx+bcosx=c$ può essere risolta sia con le parametriche che col metodo indicato da Vulplasir, che alcuni chiamano "dell'angolo aggiunto". Si potrebbe anche usare un terzo metodo (con l'analitica), ma lasciamo perdere.
Metodo dell'angolo aggiunto
E' il più conveniente quando $a/b$ (o $b/a$, non importa) è la tangente di un angolo speciale; se non lo è il metodo può essere egualmente usato, ma diventa scomodo. Consiste nel dividere tutta l'equazione per uno stesso numero, in modo da ottenere come coefficienti il seno ed il coseno di quell'angolo speciale; se non si vede subito per cosa dividere, lo si fa per $sqrt(a^2+b^2)$. Si scrive poi che quelli sono seno e coseno di quell'angolo, ottenendo così una formula di somma, con la quale concludi facilmente. Per il tuo esercizio:
Calcolo $b/a=1/sqrt3$ e noto che è la tangente di $pi/6$; i suoi seno e coseno valgono $1/2$ e $sqrt3/2$. Per ottenere questi numeri divido tutto per 2; se non avessi pensato subito al 2, l'avrei ottenuto da $sqrt(a^2+b^2)=sqrt((sqrt3)^2+1^2)=2$. Ottengo
$sqrt3/2 sinx+1/2cosx=-1/2$
$cos(pi/6)sinx+sin(pi/6)cosx=-1/2$
$sin (x+pi/6)=-1/2$
e concludo come ha fatto Vulplasir all'inizio di questa pagina.
Avrei anche potuto iniziare calcolando $sqrt3/1$ ed allora avrei pensato all'angolo $pi/3$; avrei comunque fatto un ragionamento in tutto analogo, con un'altra formula di somma.
Metodo delle parametriche
E' preferibile quando $a/b$ non è la tangente di un angolo speciale. Ogni volta che uso queste formule devo però ricordare che esse non valgono se non esiste $tan(x/2)$ e ti hanno già fatto i calcoli per dirti che le parametriche non valgono se $x=pi+2kpi$. Devo quindi sostituire quest'ultimo valore nell'equazione: se ottengo un'eguaglianza vera è una soluzione e la scrivo insieme alla altre; altrimenti non ci penso più.
Una precisazione: le equazioni lineari in seno e coseno hanno sempre come soluzione due punti del cerchio goniometrico (talora coincidenti e talora non reali); se li hai già ottenuti non occorre controllare con $x=pi+2kpi$.
Metodo dell'angolo aggiunto
E' il più conveniente quando $a/b$ (o $b/a$, non importa) è la tangente di un angolo speciale; se non lo è il metodo può essere egualmente usato, ma diventa scomodo. Consiste nel dividere tutta l'equazione per uno stesso numero, in modo da ottenere come coefficienti il seno ed il coseno di quell'angolo speciale; se non si vede subito per cosa dividere, lo si fa per $sqrt(a^2+b^2)$. Si scrive poi che quelli sono seno e coseno di quell'angolo, ottenendo così una formula di somma, con la quale concludi facilmente. Per il tuo esercizio:
Calcolo $b/a=1/sqrt3$ e noto che è la tangente di $pi/6$; i suoi seno e coseno valgono $1/2$ e $sqrt3/2$. Per ottenere questi numeri divido tutto per 2; se non avessi pensato subito al 2, l'avrei ottenuto da $sqrt(a^2+b^2)=sqrt((sqrt3)^2+1^2)=2$. Ottengo
$sqrt3/2 sinx+1/2cosx=-1/2$
$cos(pi/6)sinx+sin(pi/6)cosx=-1/2$
$sin (x+pi/6)=-1/2$
e concludo come ha fatto Vulplasir all'inizio di questa pagina.
Avrei anche potuto iniziare calcolando $sqrt3/1$ ed allora avrei pensato all'angolo $pi/3$; avrei comunque fatto un ragionamento in tutto analogo, con un'altra formula di somma.
Metodo delle parametriche
E' preferibile quando $a/b$ non è la tangente di un angolo speciale. Ogni volta che uso queste formule devo però ricordare che esse non valgono se non esiste $tan(x/2)$ e ti hanno già fatto i calcoli per dirti che le parametriche non valgono se $x=pi+2kpi$. Devo quindi sostituire quest'ultimo valore nell'equazione: se ottengo un'eguaglianza vera è una soluzione e la scrivo insieme alla altre; altrimenti non ci penso più.
Una precisazione: le equazioni lineari in seno e coseno hanno sempre come soluzione due punti del cerchio goniometrico (talora coincidenti e talora non reali); se li hai già ottenuti non occorre controllare con $x=pi+2kpi$.
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