Equazione goniometrica

[lionell88]

Ciao ragazzi
Sono in crisi con la seguente equazione

[tex]\frac{\sin x + \sin 3x}{\cos x + cos 3x}=\tan{\frac{x}{2}}+\tan{\frac{3}{2}x}[/tex]

Io ho provato utilizzando le formule di prostaferesi al primo membro ma non me ne esco lo stesso!! Sarà perché sono arrugginito in materia ...
Sarei infinitamente grato a chi mi aiutasse

[_prime_number]

Così su due piedi direi formule di addizione e poi parametriche. Hai provato? Vengono i conti di Dio?

Paola

[lionell88]

Innanzitutto complimenti per la rapidità di risposta
Cmq, tu dici che dovrei usare le formule di addizione sia al primo che al secondo membro?

[_prime_number]

Ripeto, non ho tentato direttamente perché sono al lavoro... ma io userei l'addizione sul primo membro sino ad avere solo termini con $sinx, cosx$. Al secondo $tan(3/2 x)= tan(x/2 + x)$ e via d'addizione. E poi parametriche così ti ritrovi solo roba con $tan(x/2)$.

Paola

[lionell88]

Ok... vedo un po' come viene e ti faccio sapere se risolvo. Grazie

[@melia]

Prostaferesi, prostaferesi e ancora prostaferesi.
Ecco il primo passaggio:
$(2 sin 2x cosx)/(2 cos 2x cosx)= (sin 2x)/(cos (x/2) cos (3/2 x))$
Lo so, pochi ricordano che esistono le formule di prostaferesi anche per la tangente.

[lionell88]

Io avevo utilizzato prostaferesi al primo membro, che viene
[tex]\frac{\sin 2x}{\cos 2x}[/tex]

Non vedo però come possa essere utile usare prostaferesi al secondo membro!

[@melia]

Per esempio per raccogliere a fattore comune $sen 2x$

[lionell88]

Quel sen2x verrebbe semplicemente eliso con quello del primo membro, ma resterebbe un macello di calcoli lo stesso!
Io ora sto provando usando prostaferesi al primo membro e addizione al secondo. Poi sono passato alle formule parametriche in t. Tuttavia è sempre un macello. Sarà che questa equazione è solo troppi calcoli in qualsiasi modo ti giri!

[chiaraotta1]

Mi sembra che così funzionerebbe ....

Usando le formule di prostaferesi si ottiene che
$sin(x)+sin(3x)=2sin(2x)*cos(x)$,
$cos(x)+cos(3x)=2cos(2x)*cos(x)$
$tan(x/2)+tan(3/2x)=sin(2x)/(cos(x/2)cos(3/2x))$.

Per cui
$(sin(x)+sin(3x))/(cos(x)+cos(3x))=tan(x/2)+tan(3/2x)$
può essere scritta come
$(2sin(2x)*cos(x))/(2cos(2x)*cos(x))=sin(2x)/(cos(x/2)cos(3/2x))$
$(sin(2x))/(cos(2x))=sin(2x)/(cos(x/2)cos(3/2x))$, con $cos(x)!=0$,
$sin(2x)*(1/cos(2x)-1/(cos(x/2)cos(3/2x)))=0$

Quindi, o
$sin(2x)=0->2x=kpi->x=kpi/2$,
(che annulla il denominatore e quindi non è accettabile), oppure
$1/cos(2x)-1/(cos(x/2)cos(3/2x))=0$.

La seconda equazione può essere scritta come
$cos(x/2)cos(3/2x)=cos(2x)$.
Applicando le formule di Werner si ottiene
$1/2(cos(2x)+cos(x))-cos(2x)=0$
$-1/2cos(2x)+1/2cos(x)=0$
$cos(2x)=cos(x)->2x=+-x+2kpi->x=2kpi vv x=k 2/3pi$.

[lionell88]

Si, sembra di si... strano che sul libro non ci sono le formule di prostaferesi per la tg . Ci sarà un modo alternativo per arrivarci... In ogni caso, una volta posto sin 2x diverso da 0, potrei subito eliderlo e risolvere direttamente la seconda equazione che hai scritto...
Resta la curiosità. Come si potrebbe arrivare senza usare la formula diretta di prostaferesi per la tangente? Non la trovo nemmeno nei formulari...

[lionell88]

In effetti, se proprio non si vuole usare la formula di prostaferesi per la tangente, basta sostituire tg con sin/cos ...
Poi applicare Werner e si arriva allo stesso risultato.
Grazie di cuore

[@melia]

"chiaraotta":
$sin(2x)=0->2x=kpi->x=kpi/2$,
(che annulla il denominatore e quindi non è accettabile).

Non sono mica convinta che annulli il denominatore per tutti i valori di k, ad esempio per k pari mi sembra di no.

[chiaraotta1]

Hai ragione, bisognerebbe precisare meglio.
Mi sembra che andrebbero bene solo i $k$ multipli di $4$ .... Per $k=2$ si avrebbe $x=pi$ e c'è $tan(x/2)$ ...
Quindi si dovrebbero accettare le soluzioni $x=k2pi$, che però ci sono già nell'altra equazione.