Equazione goniometrica (60730)

[victorinox]

chiedo cortesemente di nuovo il vostro aiuto, nel risolvere questa espressione goniometrica. l'ho risolta, ma il risultato non mi esce.

[math]sec^2\alpha (tan^2\alpha - \frac{1+cotan^2\alpha}{cotan^2\alpha})^2 - (sec^2\alpha cosec^2\alpha - cotan^2\alpha) [/math]

risultato:

[math]-1[/math]

mi serve entro questa sera, grazie mille a tutti.
saluti victor :hi

Aggiunto 1 ore 9 minuti più tardi:

qualcuno potrebbe aiutarmi per favore?

Aggiunto 4 ore 23 minuti più tardi:

Quindi

[math] \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha - 1}{\cos^2 \alpha} = - \frac{1- \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = - \frac{\no{\cos^2 \alpha}}{\no{\cos^2 \alpha}} = -1 [/math]

potresti spiegarmi, gentilmente come mai ha semplificato i due

[math]cos^2\alpha[/math]

?
GRAZIE ancora :thx

[adry105]

Allora per il primo pezzo (spero sia corretto):

[math]sec^2\alpha (tan^2\alpha - \frac{1+cotan^2\alpha}{cotan^2\alpha})^2 = sec^2\alpha (\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}-\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}-1)^2 = \frac{1}{cos^2\alpha} [/math]

Quindi hai:

[math]\frac{1}{cos^2\alpha}-\frac{1}{cos^2\alpha sin^2\alpha}+\frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha} = \frac{sin^2\alpha -1 +cos^4\alpha}{cos^2\alpha sin^2\alpha} = \frac{cos^2\alpha (-1+cos^2\alpha)}{cos^2\alpha sin^2\alpha} = \frac{-sin^2\alpha -cos^2\alpha +cos^2\alpha}{sin^2\alpha} = -1 [/math]

[BIT5]

Iniziamo da

[math]tan^2\alpha - \frac{1+cotan^2\alpha}{cotan^2\alpha} [/math]

Il secondo addendo e':

[math] \frac{1+cotan^2 \alpha}{cotan^2 \alpha} = \frac{1+ \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}{\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}} [/math]

Minimo comune multiplo al numeratore

[math]\frac{\frac{\sin^2 \alpha+ \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}{\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}} [/math]

E siccome

[math] \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 [/math]

Avremo

[math]\frac{\frac{1}{ \no{\sin^2 \alpha}}}{\frac{\cos^2 \alpha}{\no{\sin^2 \alpha}}} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}[/math]

Quindi

[math] \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha - 1}{\cos^2 \alpha} = - \frac{1- \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = - \frac{\no{\cos^2 \alpha}}{\no{\cos^2 \alpha}} = -1 [/math]

-1 al quadrato da' 1, moltiplicato per la secante (ovvero 1/cosx) al quadrato dara'

[math] \frac{1}{\cos^2 \alpha} [/math]

Aggiunto 11 minuti più tardi:

Il secondo addendo e'

[math] sec^2 \alpha cosec^2 \alpha - cotan^2 \alpha [/math]

La cosecante e' il reciproco del seno, quindi

[math] \frac{1}{\cos^2 \alpha} \cdot \frac{1}{\sin^2 \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} [/math]

Quindi abbiamo come risultato della seconda parentesi:

[math] \frac{1 - cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} [/math]

L'espressione totale si riduce quindi a:

[math] \frac{1}{\cos^2 \alpha} - \frac{1- \cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha - 1 + \cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} [/math]

Aggiunto 3 minuti più tardi:

Chiedo scusa ad adry.

Ma avevo la risposta aperta da un po', e non ho visto che nel frattempo aveva risposto anche lui.

comunque:

[math] \frac{-(1- \sin^2 \alpha)+ \cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = \frac{-\cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = \\ \\ \\ \frac{\no{\cos^2 \alpha} ( -1 + \cos^2 \alpha)}{\sin^2 \alpha \no{ \cos^2 \alpha}} = \frac{-(1- \cos^2 \alpha)}{\sin^2 \alpha} = \\ \\ \\ \frac{- \no{ \sin^2 \alpha}}{\no{\sin^2 \alpha}}=-1 [/math]

Aggiunto 1 ore 43 minuti più tardi:

1 - sen^2 x = cos^2 x


Poi cos^2x / cos^2x = 1 cosi' come ad esempio a/a = 1..

si semplificano numeratore e denominatore, come sempre..

[math] \frac{x}{x} = 1 \\ \\ \\ \frac{x^2}{x^2} = 1 \\ \\ \\ \frac{cos^2 x}{cos^2x} = 1 [/math]