Equazione goniometrica (306510)

[Giovi185]

Buongiorno, non riesco a risolvere questa equazione: cos(x-pi/6)+cos(x-pi/3)+cos(2x)=0 . Il risultato dovrebbe essere 3/4pi + kpi ; 2/3pi + 2kpi; 5/6pi + 2kpi. Qualcuno è in grado di farlo? Grazie!

[gio.cri]

Ciao, ti scrivo i passaggi di questo semplice esercizio:
La traccia e' questa:

[math] cos(x-\frac{\pi}{6})+cos(x-\frac{\pi}{3})+cos(2x)=0 [/math]

La prima cosa che facciamo e' modificare la traccia in questo modo:

[math] cos(-x+\frac{\pi}{6})+cos(2x)+sin(x+\frac{\pi}{6}) = 0 [/math]

Per trovare questa prima relazione, sappiamo che il coseno e' una funzione pari, quindi:

[math] cos(-\alpha)=cos(\alpha) [/math]

il cos(2x) lo lasciamo stare al momento.

Mentre, sappiamo dalla teoria che:

[math] sin(\frac{\pi}{2}-x)=cos(x) [/math]

Quindi:

[math] cos(x-\frac{\pi}{3}) [/math]

diventa

[math] sin(x+\frac{\pi}{6}) [/math]

Adesso, effettuiamo delle trasformazioni utilizzando le proprieta' della trigonometria in modo da trovarci, alla fine, una relazione che ci permetta di calcolare in modo semplice le soluzioni che ci interessano:

Iniziamo andando ad analizzare il cos(2x), che possiamo scrivere in questo modo:

[math] cos(2x)=sin(\frac{\pi}{2}+2x) [/math]

Questo perche' sappiamo dalla teoria che:

[math] cos(\alpha)=sin(\frac{\pi}{2}+\alpha) [/math]

Inoltre, per lo stesso ragionamento appena effettuato possiamo scrivere:

[math] cos(-x+\frac{\pi}{6})=cos(\frac{\pi}{2}-x-\frac{\pi}{3})=sin(x+\frac{\pi}{3}) [/math]

Siamo arrivati a scrivere questa relazione:

[math] sin(2x+\frac{\pi}{2})+sin(x+\frac{\pi}{3})+sin(x+\frac{\pi}{6})=0 [/math]

Facciamo una leggera modifica, sfruttando un'altra regola della trigonometria, ovvero:

[math] -sin(-\alpha)=sin(\alpha) [/math]

Quindi:

[math] sin(2x+\frac{\pi}{2})-sin(-x-\frac{\pi}{3})+sin(x+\frac{\pi}{6})=0 [/math]

Adesso, dobbiamo sforzarci un poco e dobbiamo utilizzare la prostaferesi per tutti i termini. Adesso vediamo come applicarla perche' vediamo solo 3 termini, ma possiamo applicare un trucco per risolvere il problema.

[math] sin(2x+\frac{\pi}{2})-sin(-x-\frac{\pi}{3})+sin(0)+sin(x+\frac{\pi}{6})=0 [/math]

Abbiamo fatto comparire un sen(0)=0, quindi, abbiamo aggiunto questo temine in modo corretto in quanto il significato della relazione non e' cambiato. Questo ci permette di applicare la prostaferesi sia per i primi due termini che per gli ultimi due.

[math] 2cos(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12})sin(\frac{3x}{2}+\frac{5\pi}{12})-2cos(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12})sin(-\frac{x}{2}-\frac{\pi}{12})=0 [/math]

A questo punto possiamo mettere in evidenza i termini uguali:

[math] 2cos(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12})[sin(\frac{3x}{2}+\frac{5\pi}{12})-sin(-\frac{x}{2}-\frac{\pi}{12})]=0 [/math]

Ancora una volta possiamo applicare la prostaferesi per il termine in parentesi quadra:

[math] 2cos(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12})[2cos(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6})sin(x+\frac{\pi}{4})]=0 [/math]

Ottenendo alla fine:

[math] 4*cos(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12})*cos(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6})*sin(x+\frac{\pi}{4}) = 0 [/math]

Dividiamo entrambi i lati per 4:

[math] cos(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12})*cos(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6})*sin(x+\frac{\pi}{4}) = 0 [/math]

A questo punto, possiamo porre ogni termine pari a zero:

[math] cos(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12}) = 0 [/math]

[math] cos(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}) = 0 [/math]

[math] sin(x+\frac{\pi}{4}) = 0 [/math]

Adesso, sfruttiamo la funzione arcocoseno (acos) ed arcoseno (asin) per trovare le soluzioni:

[math] 1) acos(cos(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12})) = acos(0) [/math]

[math] 2) acos(cos(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6})) = acos(0) [/math]

[math] 3) asin(sin(x+\frac{\pi}{4})) = asin(0) [/math]

Quindi, partendo dalla prima:

[math] 1) \frac{x}{2}+\frac{\pi}{12} = K\pi + \frac{\pi}{2} [/math]

[math] 1) \frac{x}{2} = K\pi +\frac{5\pi}{12} [/math]

A questo punto possiamo trovare facilmente la x:

[math] 1) x = 2*k\pi + \frac{5\pi}{6} [/math]

Visto questo procedimento, e' possibile ripetere lo stesso procedimento per le altre due e si trovano le soluzioni.
Buono studio.