Equazione goniometrica

[vanpic]

salve, ho questa equazione goniometrica:

$sin^3x+cos^3x=1$

essendo un'equazione simmetrica ho provato ad effettuare la sostituzione $x=\pi/4+y$
per ottenere un equazione in $cosy$, ma non sono riuscito a risolverla.
Qualcuno mi può dare un suggerimento ? Grazie

[axpgn]

È evidente che $x=0$ e $x=pi/2$ sono soluzioni dell'equazione.
Ma non ce ne sono altre

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Se vuoi un tipo di risoluzione "meccanica" io utilizzerei i test di Bioche per capire quale sostituzione optare. E ricondursi ad un equazione non goniometrica.

Indicazioni:

Optare per la sostituzione \( \tan(x/2)=t \), dunque abbiamo che \( \sin(x)=\frac{2\tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)} \) e \( \cos(x)=\frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)} \), vero che ti esplode il grado dell'equazione ma è relativamente semplice ridurlo.

Infatti la tua equazione diviene
\[ \begin{pmatrix}
\frac{2t}{1+t^2}
\end{pmatrix}^3 + \begin{pmatrix}
\frac{1-t^2}{1+t^2}
\end{pmatrix}^3 = 1\]
Semplificandola un po' e applicando ruffini un paio di volte ottieni che questa equazione è equivalente a
\[ 2t^2(t-1)^2(t^2+2t+3)=0 \]
Hai pertanto che le soluzioni reali alla tua equazione goniometrica sono le medesime di
\( \tan(\frac{x}{2})=1 \) e \( \tan(\frac{x}{2})=0 \)

ps: non mi piace come questo modo, ma sicuramente ottieni la soluzione, è lunga e un po' fastidiosa.

Mentre se vuoi una risoluzione meno meccanica dimostrerei che oltre alle soluzioni banali \( x= 2\pi n \) e \( x= \frac{\pi}{2} + 2\pi n \) con \( n \in \mathbb{Z} \), non ci sono altre soluzioni possibili. Per farlo noterei che:

Siccome \( \begin{vmatrix} \sin(x) \end{vmatrix} \leq 1 \) e \( \begin{vmatrix} \cos(x) \end{vmatrix} \leq 1 \) abbiamo che pure \( \begin{vmatrix} \sin^3(x) \end{vmatrix} \leq 1 \) e \( \begin{vmatrix} \cos^3(x) \end{vmatrix} \leq 1 \), inoltre in quanto è un cubo il segno di \( sin(x) \) e \( \cos(x) \) e rispettivamente \( sin^3(x) \) e \( \cos^3(x) \) non cambia.
Pertanto oltre le soluzioni banali \( x= 2\pi n \) e \( x= \frac{\pi}{2} + 2\pi n \) con \( n \in \mathbb{Z} \) le altre soluzioni (se esistono) devono essere tutte nel primo quadrante. Per dimostrare ciò
-Se \( x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n ) \) parti da \( \sin^3(x) + \cos^3(x) \) e fai considerazioni sul segno del seno e del coseno per dimostrare che forzatamente \( \sin^3(x) + \cos^3(x) < 1 \)

Ora per dimostrare che oltre alle soluzioni banali non ci sono altre soluzioni bisogna dimostrare che pure nel quadrante \( (2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n) \) non ci sono soluzioni. Per fare ciò dimostra che hai la seguente relazione \( \sin^3(x) + \cos^3(x) < 1 \), per ogni \( x \in(2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n) \) e ricordandoti che \( 1= \sin^2(x) + \cos^2(x) \) per ogni \( x \in \mathbb{R} \).
ps: Non devi "risolvere" niente, diviene solo uno studio del segno relativamente semplice.

Io preferisco di gran lunga il secondo, anche perché nel primo rischi di sbagliarti con i calcoli e complichi un problema di per sé relativamente semplice.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"axpgn":È evidente che $x=0$ e $x=pi/2$ sono soluzioni dell'equazione.
Ma non ce ne sono altre

Ce ne sono infinite altre di soluzioni

[axpgn]

Ma se gli scrivi così senza dirgli che l'infinitudine delle soluzioni è dovuta solamente alla periodicità, gli complichi la vita a parer mio …
Le uniche soluzioni "vere" sono quelle due (e potrebbero anche essere veramente solo quelle due se le soluzioni sono da ricercare nell'ambito $0<=x<2pi$)

Partendo dalla relazione fondamentale $(sin(x))^2+(cos(x))^2=1$, si osserva che moltiplicando entrambi gli addendi del membro di sx per una quantità minore di uno, il valore a sx diminuisce e questo accade moltiplicando per $sin(x)$ e $cos(x)$.

Cordialmente, Alex

[vanpic]

Vi ringrazio molto per le risposte