Equazione goniometrica

[HowardRoark]

Devo risolvere $sin(2x) = cos (arctan 1)$. Arrivo al seguente: $4sinxcosx = sqrt(2)$. Qui decido di trasformare l'equazione in una omogenea di secondo grado: $4sinxcosx = sqrt(2)sin^2(x) + sqrt(2) cos^2(x)$.

Come soluzioni mi vengono $x = arctan (sqrt(2) + 1) +kpi$ e $x = arctan (sqrt(2) - 1) + kpi$. Le soluzioni dell'equazione iniziale sono $x= pi/8 + kpi$ e $x= 3pi/8 + kpi$.

Il fatto strano è che, avvalendomi di un risolutore di equazioni, l'equazione nella forma $4sinxcosx = sqrt(2)(sin^2(x) + cos^2(x))$ risulta avere come soluzioni quelle indicate nel libro; quando sviluppo il prodotto, e cioè $4sinxcosx = sqrt(2)sin^2(x) + sqrt(2) cos^2 (x)$, le soluzioni coincidono con quelle che ho trovato io.

Sono sicuro di star commettendo un errore assurdo, mi aiutate a capire qual è?

[HowardRoark]

Aah, ecco . Sì, probabilmente il tuo modo di procedere è quello che l'autore del libro riteneva più 'standard'.

Grazie mille, sei stato chiarissimo!

[HowardRoark]

Ne approfitto per porti una domanda. Capisco tutti i calcoli che hai fatto; l'unica cosa che non mi è chiara è "da dove salti fuori" $(1 + sqrt(2)/2)/(1 + sqrt(2)/2)$. Per calcolare l'arcotangente in radianti utilizzi sempre questo tipo di formula?

Volevo poi chiederti: per calcolare le altre funzioni goniometriche inverse (arcsin,arccos...) posso utilizzare delle formule analoghe a quella che hai usato tu per calcolare l'arcotangente? Perché trovo abbastanza seccante il fatto di dover fare ogni volta questo tipo di calcoli con la calcolatrice.

[HowardRoark]

"TeM":...

assumiamo che l'angolo incognito assuma un preciso valore, ad esempio \(\pi/5\), quindi procediamo così:

\[ \begin{aligned}
\sin(5\,\alpha)
& = \sin(4\,\alpha + \alpha) \\
& = \sin(4\,\alpha)\,\cos\alpha +\cos(4\,\alpha)\,\sin\alpha \\
& = 2\,\sin(2\,\alpha)\,\cos(2\,\alpha)\,\cos\alpha + \left(\cos^2(2\,\alpha) - \sin^2(2\,\alpha)\right)\sin\alpha \\
& = \dots \\
& = 16\,\sin^5\alpha - 20\,\sin^3\alpha + 5\,\sin\alpha
\end{aligned} \] da cui segue che se una soluzione dell'equazione: \[ 0 = 16\,y^5 - 20\,y^3 + 5\,y \] è \(y = \bar{y}\) tale per cui \(\frac{\bar{y}}{\sqrt{1-\bar{y}^2}} = t\), allora l'angolo desiderato è proprio \(\alpha = \frac{\pi}{5}\), altrimenti no;

assumiamo che l'angolo incognito sia la metà di un angolo calcolato preceden-

temente, quindi assunto noto, e riapplichiamo il medesimo metodo di ricerca;

assumiamo che l'angolo sia complementare di uno noto e facciamo riferimento agli archi associati;

alziamo bandiera bianca, in quanto ulteriori metodi manuali sarebbero troppo complicati: tabella!

Spero di aver reso l'idea di un possibile approccio "manuale" a tale tipologia di calcolo.

Ho capito più o meno tutto, fino a qui.

In particolare non riesco a capire come, ipotizzando che l'angolo incognito $t$ assuma come valore $pi/5$, tu faccia il ragionamento con $sin(5alpha)$. Se ho capito bene, stai assumendo questo: $arctan(x)=pi/5 => tan(pi/5)=x$. Quello che non capisco è come, da $tan(pi/5) = x$ arrivi a $sin(5 alpha)$, dove $alpha$ è un angolo notevole.

Per il resto, grazie davvero per l'intervento, se riesco a capirlo per bene prenderò appunti!

[HowardRoark]

Aah, ho capito! Ecco spiegato il perché di quel $5alpha$: per impostare un'equazione con $sin(pi) = 0$.

Più che altro mi interessava l'argomento perché credo sia funzionale a una migliore comprensione dei concetti. Mi sembra davvero limitante non saper calcolare l'arcotangente di un angolo se non per valori notevoli...

[HowardRoark]

Buona serata anche a te.

Grazie per la pazienza!