Equazione goniometrica

[Ellihca]

Buona sera !
Potete per favore darmi uno "spunto" per risolvere la seguente equazione:

\(\displaystyle sen(3x)-10cos(2x)+10cos^2(x)=11sen(x)-2\)

applicando le formule di add. l'ho portata in seno/coseno di \(\displaystyle x\) , poi ho usato la parametrica ma viene un'equazione di 5° grado...e non ne vado fuori...

Grazie in anticipo !

[francicko]

Non ho mai risolto equazioni di questo tipo, provo a darti una risposta,
Per prima cosa proverei a ridurre l'equazione in funzione di un unica incognita in tal caso $sinx $;
Dalle formule di triplicazione si ha:
$sin (3x)=3sinx-4sin^3(x) $
Dalle formule di duplicazione si ha:
$cos (2x)=1-2sin^2 (x) $
Inoltre $cos^2 (x)=1-sin^2 (x) $
Prova adesso a fare le dovute sostituzioni dovresti ottenere un equazione espressa in $sinx $, indicando $sinx=t $, dovrebbe risultare se non ho fatto male i calcoli
qualcosa come:
$-4t^3-8t+10t^2+2=0$, che si vede ad occhio che ha tra le soluzioni
$t=1$, da cui $sinx=1$, cioe $x=(pi)/2$, l'altra soluzione nel campo reale dovrebbe essere $t=sinx=1/2$ da cui $x=(pi)/6$ prova a controllare

[Ellihca]

Grazie per l'indicazione;
Avevo complicato la cosa, anzichè portando semplicemente tutto in \(\displaystyle sen(x) \), lavorando con \(\displaystyle sen(x) \) e \(\displaystyle cos(x) \), applicando poi le formule parametriche.
Come hai fatto tu, l'equazione diventa, ponendo \(\displaystyle t=sen(x)\), \(\displaystyle (t-1)(-2t^2+3t-1)=0 \) che ha soluzioni:
\(\displaystyle t=1,sen(x)=1, x=90°+k360° \) e \(\displaystyle t=1/2, sen(x)=1/2, x=30°+k360 , x=150°+k360° \)

Grazie ancora !