Equazione goniometrica
Avendo questa equazione goniometrica $sinxcosx=1\4$, Mario la risolve trovando le seguenti soluzioni $x=pi/12+kpi$ e $x=5pi/12 +kpi$ con k qualsiasi mentre Saverio trova la seguente soluzione $x=(-1)^kpi/12 + kpi/2$ con k intero. E' giusto affermare che Mario ha risolto bene l'equazione e Saverio no?
Io ho provato: $2sinxcosx=1/2$
$sin2x=1/2$
$x=pi/12 + kpi$ e $x=5pi/12 + kpi$
Provo ora a dare dei valori arbitrari a k?
Io ho provato: $2sinxcosx=1/2$
$sin2x=1/2$
$x=pi/12 + kpi$ e $x=5pi/12 + kpi$
Provo ora a dare dei valori arbitrari a k?
Risposte
Immagino fosse $1/4$ e non $14$, giusto?
Poi, più che dare dei valori a caso a $k$, prova a ragionare su $k$ pari o $k$ dispari...
Poi, più che dare dei valori a caso a $k$, prova a ragionare su $k$ pari o $k$ dispari...
Si, esatto. Ho provato a dare dei valori a caso a $k$, per alcuni valori di $k$ si ottengono gli stessi valori, ma dando a $k$ simultaneamente lo stesso valore non si ottengono gli stessi risultati. Perché $k$ pari o dispari?
Hanno sbagliato tutti e due.
Le soluzioni sono:
$x=pi/12+kpi$
$x=(5pi)/12+kpi$
con $k$ intero relativo.
In effetti la soluzione di Saverio è corretta per $k=2m$ e $k=2m+1$ ($m$ appartenente a $Z$), e quella di Mario è corretta per $k$ appartenente a $Z$.
Le soluzioni sono:
$x=pi/12+kpi$
$x=(5pi)/12+kpi$
con $k$ intero relativo.
In effetti la soluzione di Saverio è corretta per $k=2m$ e $k=2m+1$ ($m$ appartenente a $Z$), e quella di Mario è corretta per $k$ appartenente a $Z$.
Allora: partiamo da $pi/12+kpi$ e da $5/12pi + kpi$. Se vai a riportare su una circonferenza gli angoli individuati da queste soluzioni trovi che questi angoli sono quattro. Limitandoci al primo giro di circonferenza, essi sono $pi/12, 5/12pi, 13/12pi, 17/12pi$.
Ora la seconda soluzione è equivalente alla prima se e solo se ti permette di individuare tutti e soli questi angoli.
La seconda soluzione viene presentata come $(-1)^k pi/12 + kpi/2$.
Partiamo da $k$ dispari: $k$ può quindi valere $1, 3, 5, ...$
La soluzione diventa $-pi/12 + k pi/2$. $k$ però deve essere dispari, quindi la soluzione è $-pi/12 + pi/2 + kpi = 5/12pi + hpi$, con $h$ intero.
Se invece $k$ è pari abbiamo $pi/12 + k pi/2$ ma appunto $k$ è pari, quindi possiamo scrivere $pi/12 + h pi$, con $h$ intero.
Ecco che abbiamo trovato esattamente le stesse soluzioni di prima.
Ora la seconda soluzione è equivalente alla prima se e solo se ti permette di individuare tutti e soli questi angoli.
La seconda soluzione viene presentata come $(-1)^k pi/12 + kpi/2$.
Partiamo da $k$ dispari: $k$ può quindi valere $1, 3, 5, ...$
La soluzione diventa $-pi/12 + k pi/2$. $k$ però deve essere dispari, quindi la soluzione è $-pi/12 + pi/2 + kpi = 5/12pi + hpi$, con $h$ intero.
Se invece $k$ è pari abbiamo $pi/12 + k pi/2$ ma appunto $k$ è pari, quindi possiamo scrivere $pi/12 + h pi$, con $h$ intero.
Ecco che abbiamo trovato esattamente le stesse soluzioni di prima.
"Vulplasir":
con $k$ intero relativo.
Credo che "$k$ qualsiasi" si riferisse a questi valori. Però può anche essere che fosse un tranello, anche perché poi specifica dopo "$k$ intero"...
In ogni caso, ci si dovrebbe attenere al testo in modo letterale, quindi come hai fatto tu.
"minomic":
[quote="Vulplasir"]con $k$ intero relativo.
Credo che "$k$ qualsiasi" si riferisse a questi valori. Però può anche essere che fosse un tranello, anche perché poi specifica dopo "$k$ intero"...
In ogni caso, ci si dovrebbe attenere al testo in modo letterale, quindi come hai fatto tu.[/quote]
Quindi hanno sbagliato tutti e due?
Io ho dato la seguente risposta: Mario ha risolto correttamente l'equazione trovando le seguenti soluzioni, $x=15°+180k$ e $x=75°+180k$. La soluzione di Saverio è comunque da prendere in considerazione poiché, sotto certi valori di $k$, si ottengono le medesime soluzioni; tuttavia dando simultaneamente a $k$ lo stesso valore, tenendo conto delle condizioni iniziali, si hanno soluzioni diverse.
Poi ho scritto alcuni esempi.
che ne pensate?
Quindi hanno sbagliato tutti e due?
In effetti no, perchè, come ha dimostrato minomic, Saverio ha dato la risposta corretta, infatti sia ponendo $k=2m$ e sia ponendo $k=2m+1$ la sua soluzione si trasforma nella soluzione che tu ed io abbiamo trovato, ossia $x=pi/12+kpi$ e $x=5pi/12+kpi$.
Nel caso di Mario non saprei..non so cosa intenda per "$k$ qualsiasi"...se intende $k$ appartenente a $Z$ allora la soluzione di Mario è corretta, se intende $k$ appartenente a R allora no..
La soluzione di Saverio è comunque da prendere in considerazione poiché, sotto certi valori di k, si ottengono le medesime soluzioni; tuttavia dando simultaneamente a k lo stesso valore, tenendo conto delle condizioni iniziali, si hanno soluzioni diverse
Non importa se le soluzioni sono diverse..basta che siano corrette e valide entrambe...infatti prendiamo le due soluzioni e diamo dei valori arbitrari a $k$:
Mario: $x=pi/12+kpi$ , poniamo $k=1$ : $x=pi/12+pi$, soluzione accetabile
Saverio: $x=(-1)^k*pi/12+kpi/2$ , poniamo $k=1$ , $x=-pi/12+pi/2 = 5pi/12$ , soluzione accettabile
Quindi la mia risposta è corretta o no?
Anche perché ho scritto che la soluzione di Saverio è comunque da prendere in considerazione, o sbaglio=
Anche perché ho scritto che la soluzione di Saverio è comunque da prendere in considerazione, o sbaglio=
No, in effetti la tua soluzione non è corretta perchè hanno dato tutti e due una risposta corretta.
La soluzione di Saverio non è "comunque da prendere in considerazione" perchè appunto è perfettamente corretta
Io ho dato la seguente risposta: Mario ha risolto correttamente l'equazione trovando le seguenti soluzioni, x=15°+180k e x=75°+180k. La soluzione di Saverio è comunque da prendere in considerazione poiché, sotto certi valori di k, si ottengono le medesime soluzioni; tuttavia dando simultaneamente a k lo stesso valore, tenendo conto delle condizioni iniziali, si hanno soluzioni diverse
La soluzione di Saverio non è "comunque da prendere in considerazione" perchè appunto è perfettamente corretta
Ok, grazie mille. Un'ultima domanda, in base a che criterio avete ragionato su k pari e dispari?
Dovresti chiederlo a minomic perchè è lui che ha avuto l'idea per primo, ma in generale quando è presente un $(-1)^n$ in una qualsiasi formula è perchè quasi sempre quella formula è diversificata per numeri dispari e numeri pari, ma il $(-1)^n$ permette di ovviare in genere a questi problemi dato che $(-1)^(2n) = 1$ e $(-1)^(2n+1)=-1$
Altrimenti si può notare come $(-1)^kpi/12+kpi/2$ si trasformi nella soluzione "canonica" per $k$ pari dato che il $2$ al denominatore andrebbe via e $(-1)^k$ diverrebbe $1$ e da li provare anche con i dispari.
Altrimenti si può notare come $(-1)^kpi/12+kpi/2$ si trasformi nella soluzione "canonica" per $k$ pari dato che il $2$ al denominatore andrebbe via e $(-1)^k$ diverrebbe $1$ e da li provare anche con i dispari.
"Vulplasir":
Dovresti chiederlo a minomic perchè è lui che ha avuto l'idea per primo, ma in generale quando è presente un $(-1)^n$ in una qualsiasi formula è perchè quasi sempre quella formula è diversificata per numeri dispari e numeri pari, ma il $(-1)^n$ permette di ovviare in genere a questi problemi dato che $(-1)^(2n) = 1$ e $(-1)^(2n+1)=-1$
Confermo! Generalmente il $(-1)^n$ è il "segnale" che suggerisce di fare un'analisi per valori pari e una per valori dispari.
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