Equazione esponenziale usando incognita ausiliaria

[matteo28]

Ciao a tutti mi potete fare questa Equazione esponenziale usando incognita ausiliaria? grazie

[Ali Q]

Ecco a te, Matteo:

[math]2^x + 8 = 1/4 +2^{1-x}[/math]

[math]2^x + 8 = 1/4 +2^1: 2^{x}[/math]

[math]2^x - 2/ 2^{x} = 1/4 -8[/math]

[math]2^x - 2/ 2^{x} = 1/4 -32/4[/math]

[math]2^x - 2/ 2^{x} = -31/4[/math]

Incognita ausiliaria:

[math]2^x = t[/math]

. Ovviamente, trattandosi di una potenza, dovrà essere t>0

[math]t - 2/t + 31/4 = 0[/math]

[math]t^2 + 31/4 t -2 = 0[/math]

Risolviamo l'equzione di secondo grado:

[math]Delta = (31/4)^2 +4*2 = 961/16 + 8 = 961/16 + 128/16 = 1089/16 = (33/4)^2[/math]

[math]t = \frac{-31/4 \pm 33/4}{2}[/math]

Trascuriamo dunque la soluzione negativa perchè deve risultare t>0

[math]t = 2^x = 1/4[/math]

[math]2^x = 1/4 = 1/(2^2) = 2^{-2}[/math]

Quindi

[math]x = -2[/math]

Fine. Ciao!!!

Aggiunto 4 minuti più tardi:

Mi pare ci sia un problema con il latex. Ti riscrivo tutto più chiaramente qui sotto, allora. Ecco qua:

2^x + 8 = 1/4 +2^{1-x}

2^x + 8 = 1/4 +2^1: 2^{x}

2^x - 2/ 2^{x} = 1/4 -8

2^x - 2/ 2^{x} = 1/4 -32/4

2^x - 2/ 2^{x} = -31/4

Incognita ausiliaria: 2^x = t. Ovviamente, trattandosi di una potenza, dovrà essere t>0

t - 2/t + 31/4 = 0

t^2 + 31/4 t -2 = 0

Risolviamo l'equazione di secondo grado:

Delta = (31/4)^2 +4*2 = 961/16 + 8 = 961/16 + 128/16 = 1089/16 = (33/4)^2

t = {-31/4 + o - 33/4}/{2}

Trascuriamo dunque la soluzione negativa perchè deve risultare t>0

t = 2^x = 1/4

2^x = 1/4 = 1/(2^2) = 2^{-2}

Quindi
x = -2

Ecco, finito. Ciao di nuovo!!!