Equazione esponenziale logaritmica

[sirenakey]

Raga mi daresti una mano Con questa equazione esponenziale logaritmica?Grazie di gia :(

[magox]

L'equazione si può scrivere così:

[math]log_{\frac{1}{4}}{(3^x-3^{(x-2)})}=log_{\frac{1}{4}}[4(2^{x-3}+2^x)][/math]

Da cui in successione si ricava che:

[math]3^x-3^{x-2}=4(2^{x-3}+2^x)[/math]

[math]3^x-3^{x-2}=2^{x-1}+2^{x+2}[/math]

[math]3^x(1-\frac{1}{9})=2^x(\frac{1}{2}+4)[/math]

[math]3^x\cdot\frac{8}{9}=2^x\cdot\frac{9}{2}[/math]

[math](\frac{3}{2})^x=(\frac{3}{2})^4[/math]

E quindi la soluzione è x=4

[BIT5]

Lavoriamo sull'argomento del primo logaritmo applicando un po' di proprieta' delle potenze:

[math] - \frac{1}{3^{2-x}}+3^x = - \frac{1}{3^23^{-x}}+3^x = - \frac{3^x}{9}+3^x = \frac{8}{9}3^x [/math]

[math] -1= \log_{\frac14}\frac14^{-1}= \log_{\frac14}4 [/math]

[math] 2^{x-3}+2^x=2^x2^{-3}+2^x= \frac{2^x}{2^3}+2^x = \frac982^x [/math]

l'equazione sara'

[math] \log_{\frac14}\(\frac{8}{9}3^x \) = \log_{\frac14}4 + \log_{\frac14} \(\frac982^x \) [/math]

e siccome la somma di logaritmi equivale al logaritmo del prodotto avremo

[math] \log_{\frac14}\(\frac{8}{9}3^x \) = \log_{\frac14}(4\cdot\frac982^x \) [/math]

ovvero semplificando il secondo argomento

[math] \log_{\frac14}\(\frac{8}{9}3^x \) = \log_{\frac14}(\frac922^x \) [/math]

Uguagliamo gli argomenti

[math] \frac{8}{9}3^x = \frac922^x [/math]

da cui

[math] \frac{3^x}{2^x} = \frac{81}{16} [/math]

E quindi

[math] \( \frac32 \)^x = \( \frac32 \)^4 [/math]

E dunque affinche' i valori siano uguali, uguale dovra' essere l'esponente

[math] x=4 [/math]

Se hai dubbi chiedi :)

Aggiunto 28 secondi più tardi:

scusa magox, ma ho risposto mentre rispondevi tu ;)