Equazione esponenziale fratta

[simonsays92]

Salve, non riesco a risolvere questa equazione. Qualcuno mi aiuterebbe?

$\frac{5^(2x)}{3^(x-1)}=sqrt{\frac{3*(5^(x))}{9^(x+1)}}$

[vict85]

[xdom="vict85"]Sposto in secondaria di secondo grado.[/xdom]

[vict85]

Usando il fatto che \(\displaystyle 5 = 3^{\log_3 5} \) e che \(\displaystyle 9 = 3^2 \) dovresti risolvere facilmente.

[@melia]

"SimonSays92":Salve, non riesco a risolvere questa equazione. Qualcuno mi aiuterebbe?

$\frac{5^(2x)}{3^(x-1)}=sqrt{\frac{3*(5^(x))}{9^(x+1)}}$

diventa $\frac{3*5^(2x)}{3^x}=\frac{(3*(5^(x)))^(1/2)}{3^(x+1)}$ cioè

$\frac{3*5^(2x)}{3^x}= \frac{3^(1/2)*5^(x/2)}{3*3^x}$ da cui con un denominatore comune ottieni

$9*5^(2x)=3^(1/2)*5^(x/2)$ e adesso hai l'incognita solo sulle potenze di 5.

[simonsays92]

Sto provando ma non riesco. Allora, partendo dall'inizio e premettendo che la soluzione è: $-log_5(3)$

Elevo entrambi i membri al quadrato: $frac\{5^(4x)}{3^(2x-2)}=frac{3(5^x)}{3^(2x+2)}$

Poi: $frac\{(5^(4x))*(3^(2x+2))-3*(5^x)*(3^(2x-2))}{(3^(2x-2))*(3^(2x+2))}=0$

Elimino il denominatore e mi rimane: $(5^(4x))*(3^(2x+2))-(3)*(5^x)*(3^(2x-2))=0$

Poi trasformo $5$ in $3^(log_3(5))$ e ho: $(3^(4xlog_3(5)))*(3^(2x+2))=(3)*(3^(xlog_3(5)))*(3^(2x-2))$

Moltiplico: $3^(log_3(5^(4x))+2x+2)=3^(log_3(5^x)+2x-2+1)$.

A questo punto uguaglio gli esponenti: $log_3(5^(4x))+2x+2=log_3(5^x)+2x-2+1$

Facendo i calcoli mi rimane: $log_3(5^(4x))-log_3(5^x)=-3$

Poi: $log_3(frac\{5^(4x)}{5^x})=-3$. Quindi: $log_3(5^(3x))=-3$.

Tolgo il log: $5^(3x)=3^-3$. Cioè: $5^(3x)=frac\{1}{27}$

Rimetto il logaritmo: log: $3x=log_5(frac{1}{27})$. E per finire. $x=frac{log_5(frac{1}{27})}{3}$.

Quindi non ho capito cosa devo fare

[andar9896]

Hai finito, perché $1/27=3^(-3)$

[simonsays92]

"andar9896":Hai finito, perché $1/27=3^(-3)$

È vero