Equazione esponenziale con basi diverse
Ciao ragazzi,
stavo provando a risolvere l'equazione $3^x+4^x-2^x=21$ ma vedo che non hanno basi in comune che mi permettano di fare una sostituzione o di lavorare direttamente sugli esponenti.
Il "meglio" che sono riuscito a fare è $3^x-7*3=(-2^x)^2+2^x$
Sono sulla strada sbagliata vero?
Grazie
stavo provando a risolvere l'equazione $3^x+4^x-2^x=21$ ma vedo che non hanno basi in comune che mi permettano di fare una sostituzione o di lavorare direttamente sugli esponenti.
Il "meglio" che sono riuscito a fare è $3^x-7*3=(-2^x)^2+2^x$
Sono sulla strada sbagliata vero?
Grazie
Risposte
per ora , l'unico errore è nel segno, poichè , essendo $4^x=2^(2x)$, quando lo sposti a destra diventa :$-2^(2x)$
in effetti comunque è un'equazione un po' strana; posso sapere da quale libro l'hai tratta?
in effetti comunque è un'equazione un po' strana; posso sapere da quale libro l'hai tratta?
grazie per avermi corretto.
L'equazione è stata data durante un compito di 3a. So anche che l'unica soluzione è 2, ma non so come si trova....
Credo si utilizzino i logaritmi, ma come??
L'equazione è stata data durante un compito di 3a. So anche che l'unica soluzione è 2, ma non so come si trova....
Credo si utilizzino i logaritmi, ma come??
Posso chiederti dove hai trovato questa equazione?
il passaggio ai logaritmi è consentito solo se puoi applicare le loro proprietà, e quindi bisogna avere sia a sinistra che a destra del segno = o le due potenze a base diversa o al massimo dei prodotti
ad es., se avessi avuto $3^(x-1)=2^(2x)$ , passando ai log avresti ottenuto :
$(x-1)log3=2xlog2$ ( i log in genere sono in base 10) e poi risolvevi come una normale equazione di primo grado
altro esempio : $2^x * 3^x=21$ , passando ai log : $xlog2+xlog3=log21$
quindi l'unica strada sarebbe cercare di scomporre il polinomio, ma non vedo come
faccio qualche prova e vedo se riesco a trovare la strada giusta
ad es., se avessi avuto $3^(x-1)=2^(2x)$ , passando ai log avresti ottenuto :
$(x-1)log3=2xlog2$ ( i log in genere sono in base 10) e poi risolvevi come una normale equazione di primo grado
altro esempio : $2^x * 3^x=21$ , passando ai log : $xlog2+xlog3=log21$
quindi l'unica strada sarebbe cercare di scomporre il polinomio, ma non vedo come
faccio qualche prova e vedo se riesco a trovare la strada giusta
Ma nel compito in classe si contemplava anche la possibilità di risolvere le equazioni graficamente?
non credo valga il metodo grafico, il compito non era mio.
Che sia l'unica soluzione?
O che andava fatta ad occhio? In effetti l'esercizio era a risposta multipla, uno dei tanti esercizi dati... ma mi sembra assurdo che andava fatto sostituendo all'equazione i valori di x dati nelle risposte...
Che sia l'unica soluzione?
O che andava fatta ad occhio? In effetti l'esercizio era a risposta multipla, uno dei tanti esercizi dati... ma mi sembra assurdo che andava fatto sostituendo all'equazione i valori di x dati nelle risposte...
Diciamo che procedendo per tentaivi uno trova subito la soluzione.
Prova 0 e non esce, prova 1 e non esce, prova 2 ed esce.
Però non mi sembra un gran metodo!!!
Non so che dirti.
Prova 0 e non esce, prova 1 e non esce, prova 2 ed esce.
Però non mi sembra un gran metodo!!!
Non so che dirti.
Secondo me gli unici metodi possibili sono per tentativi (e forse conoscendo le esatte parole del testo si scoprirebbe che era quello voluto) o graficamente. Il grafico non è difficile: si suddivide l'equazione come fatto nel primo intervento e si nota che il primo membro è un esponenziale traslato; per il secondo membro si fa la sostituzione $2^x=u$ e si deduce il grafico da quello della parabola $y=-u^2+u$ (occhio: non ho detto che i due grafici sono uguali). L'unica soluzione è effettivamente x=2.
le parole del testo dicevano solo di barrare la casellina con la risposta esatta...
Cmq grazie a tutti per gli aiuti!
Cmq grazie a tutti per gli aiuti!
Anche l'elenco esatto delle risposte può essere un'indicazione: ad esempio, non avremmo avuto dubbi a segnare come giusta "x=2 è soluzione dell'equazione" mentre ne avremmo avuti nello scegliere fra "x=2 è l'unica soluzione" e "vi sono più soluzioni".
Comunque ho trova una risposta abbastanza carina e la riporto qui. Partiamo da
$3^x+4^x-2^x=21$
e consideriamo il primo membro. Per x negativo i suoi addendi sono compresi fra 0 e 1, quindi la loro somma algebrica non può essere 21. Per x=0 il primo membro vale 1. Per x positivo, al crescere di x crescono e sono positivi sia $3^x$ che $4^x-2^x=2^x(2^x-1)$ quindi cresce l'intero primo membro, variando da 1 a +infinito: ci sarà quindi uno e un solo valore di x per cui vale 21. Per tentativi trovo ora x=2.
Naturalmente se il secondo membro avesse avuto un altro valore, ad esempio 17, non avrei trovato la mia bella soluzione intera; avrei però potuto dire che c'è una sola soluzione, compresa fra 1 e 2.
Comunque ho trova una risposta abbastanza carina e la riporto qui. Partiamo da
$3^x+4^x-2^x=21$
e consideriamo il primo membro. Per x negativo i suoi addendi sono compresi fra 0 e 1, quindi la loro somma algebrica non può essere 21. Per x=0 il primo membro vale 1. Per x positivo, al crescere di x crescono e sono positivi sia $3^x$ che $4^x-2^x=2^x(2^x-1)$ quindi cresce l'intero primo membro, variando da 1 a +infinito: ci sarà quindi uno e un solo valore di x per cui vale 21. Per tentativi trovo ora x=2.
Naturalmente se il secondo membro avesse avuto un altro valore, ad esempio 17, non avrei trovato la mia bella soluzione intera; avrei però potuto dire che c'è una sola soluzione, compresa fra 1 e 2.
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