Equazione esponenziale (72460)

[ale92_ale]

Ciao! Mi aiutate a risolvere questa equazione? Grazie

[2^x *15] / [2^3+1]=40 * 3^(x-4)

Aggiunto 56 minuti più tardi:

Verificare che y= 2^x / 1+4^x
Poi nei sistemi di equazioni logaritmiche , devo imporre le C.E??
3^x*5^(x-2)=9
2^(2x-1) + 3 / 2^x +1= 2^x – 1/3
Rad(x) di 4 >2
1< rad(x) di 4=0

grazie mille!

[BIT5]

[math] \frac{2^x \cdot 15}{2^3+1} = 40 \cdot 3^{(x-4)} [/math]

Ricordando che

[math] a^{m-n}= \frac{a^m}{a^n} [/math]

avrai

[math] \frac{2^x \cdot 15}{9} = 40 \cdot \frac{3^x}{3^4} [/math]

quindi

[math] \frac{2^x \cdot \no{15}^5}{\no{9}^3} = 40 \cdot \frac{3^x}{81} [/math]

Da cui

[math] 2^x = 3^x \cdot \frac{\no{40}^8}{81} \cdot \frac{1}{\no{5}^1} [/math]

ovvero

[math] 81 \cdot 2^x = 8 \cdot 3^x [/math]

da cui

[math] \log (81 \cdot 2^x) = \log (8 \cdot 3^x) [/math]

quindi siccome

[math] \log(ab) = \log a + \log b [/math]

avrai

[math] \log 81 + \log 2^x = \log 8 + \log 3^x [/math]

ovvero

[math] \log 2^x - \log 3^x = \log 8 - \log 81 [/math]

infine sapendo che

[math] \log a^n = n \cdot \log a [/math]

[math] x \log 2 - x \log 3 = \log 8 - \log 81 [/math]

raccogli la x

[math] x \(\log 2 - \log 3 \) = \log 8 - \log 81 [/math]

e dividi tutto per il coefficiente di x

[math] x = \frac{ \log 8 - \log 81}{ \log 2 - \log 3 } [/math]

avresti anche potuto scegliere un logaritmo in base 2 o in base 3..

scegliendo ad esempio log base 2 avresti avuto

[math] \log_2 (81 \cdot 2^x) = \log_2 (8 \cdot 3^x) [/math]

ovvero

[math] \log_2 81 + \log_2 2^x = \log_2 8 + \log_2 3^x [/math]

Quindi sapendo che

[math] \log_a a^n = n \\ \\ \\ \log_2 8 = \log_2 2^3 = 3 \\ \\ \\ \log_2 2^x = x [/math]

avresti ottenuto

[math] \log_2 81 + x = 3 + x \log_2 3 [/math]

porti tutte le x a sinistra

[math] x-x \log_2 3 = 3- \log_2 81 [/math]

da cui

[math] x(1- \log_2 3) = 3- \log_2 81 [/math]

e quindi

[math] x= \frac{3- \log_2 81}{1- \log_2 3} [/math]

se ho fatto i conti esatti, i due valori di x sono identici..

Puoi dimostrarlo trasformando tutti i logaritmi di sopra, in base 2 (con la formula per il cambiamento di base) ottenendo quelli dell'altro valore di x

In linea generale, comunque, si tende a usare sempre il logaritmo naturale

Per quanto riguarda la seconda parte non ho capito NULLA di quello che chiedi.

Verificare che y=........ verificare cosa?
e poi tutte le successive che sono?