Equazione esponenziale
Non riesco a risolvere questa equazione:
$2^(2*x)*3^x = 6$
Nei tentativi di risoluzione provo a fare in modo di avere la stessa base per poi andare a lavorare solo sugli esponenti, ma arrivo ad avere un'equazione logaritmica che ha un argomento esponenziale. Insomma non credo di essere la strada giusta.
$2^(2*x)*3^x = 6$
Nei tentativi di risoluzione provo a fare in modo di avere la stessa base per poi andare a lavorare solo sugli esponenti, ma arrivo ad avere un'equazione logaritmica che ha un argomento esponenziale. Insomma non credo di essere la strada giusta.
Risposte
Non vorrei sparare fesserie, ma mi pare sia sufficiente fare $(2^2*3)^x=6$ e quindi x e' il logaritmo in base 12 di 6.
$2^{2x} \cdot 3^{x} = 2^{x} \cdot 2^{x} \cdot 3^{x}= (2 \cdot 2 \cdot 3)^{x} = 12 ^{x} = 6 => x=log_{12}6$.
EDIT: in contemporanea con Benny!
EDIT: in contemporanea con Benny!
Effettivamente è più semplice di quanto potessi pensare. Si vede che non tocco matematica da 5 anni. Ma me la sono trovata come debito nella specialistica.
P.S. posto in superiori perchè credo siano abbastanza banali rispetto alla media.
P.S. posto in superiori perchè credo siano abbastanza banali rispetto alla media.
Ho difficoltà anche con questa disequazione:
$ 2 * 3^x <= 3 * 5^x $
Porto nella forma seguente:
$ 2/3 <= (5/3)^x
Faccio in modo di avere le basi uguali e lavoro sugli esponenti ed ottengo:
$log_{5/3} 2/3 <= x$
Qui mi blocco...o meglio questo sarebbe il risultato che ottengo che è diverso da quello dato.
$ 2 * 3^x <= 3 * 5^x $
Porto nella forma seguente:
$ 2/3 <= (5/3)^x
Faccio in modo di avere le basi uguali e lavoro sugli esponenti ed ottengo:
$log_{5/3} 2/3 <= x$
Qui mi blocco...o meglio questo sarebbe il risultato che ottengo che è diverso da quello dato.
Che risultato ti viene dato?
"Benny":
Che risultato ti viene dato?
$x >= (log 3 - log 2) / (log 3 - log 5)
magari viene semplicemente applicata qualche proprietà dei logaritmi che io non conosco.
"ThomasNO":
$x >= (log 3 - log 2) / (log 3 - log 5)$
magari viene semplicemente applicata qualche proprietà dei logaritmi che io non conosco.
Esattamente.
Ha operato un cambiamento di base:
$log_(5/3) 2/3=\frac{log(2/3)}{log(5/3)}$
e usando un'altra proprietà dei logaritmi, precisamente $log(a/b)=loga-logb$, e moltiplicando numeratore e denominatore per $-1$ giungi appunto al risultato finale.
Ti torna?
Ciao.
"ThomasNO":
Ho difficoltà anche con questa disequazione:
$ 2 * 3^x <= 3 * 5^x $
Porto nella forma seguente:
$ 2/3 <= (5/3)^x
Faccio in modo di avere le basi uguali e lavoro sugli esponenti ed ottengo:
$log_{5/3} 2/3 <= x$
Qui mi blocco...o meglio questo sarebbe il risultato che ottengo che è diverso da quello dato.
Basta cambiare la base e applicare le proprietà dei logaritmi:
$log_{\frac{5}{3}}\frac{2}{3}=\frac{Log\frac{2}{3}}{Log\frac{5}{3}}=\frac{Log2 - Log3}{Log5 - Log3}=\frac{-(Log3 - Log2)}{-(Log3 - Log5)}=\frac{Log3 - Log2}{Log3 - Log5}$.
EDIT: ancora una volta c'è simultaneità, questa volta con Steven.
"Steven":
[quote="ThomasNO"]
$x >= (log 3 - log 2) / (log 3 - log 5)$
magari viene semplicemente applicata qualche proprietà dei logaritmi che io non conosco.
Esattamente.
Ha operato un cambiamento di base:
$log_(5/3) 2/3=\frac{log(2/3)}{log(5/3)}$
e usando un'altra proprietà dei logaritmi, precisamente $log(a/b)=loga-logb$, e moltiplicando numeratore e denominatore per $-1$ giungi appunto al risultato finale.
Ti torna?
Ciao.[/quote]
Perfetto mentre scrivevi tu ero arrivato anch'io al tuo penultimo passaggio, mi mancava solo da raccogliere meno 1.
Mi potreste dire se è corretto come risolvo questo esercizio:
$log_(1/3) (x-1) + 2*log_(1/3) (x+1) >= -2$
Il cui campo di esistenza è il sistema degli argomenti dei logaritmi maggiori di 0, quindi $x > 1$
Per la risoluzione applico le proprietà dei logaritmi e ottengo:
$log_(1/3) (x-1) * (x+1)^2 >= -2$
La base è inferiore a 1 quindi inverto il segno:
$(x-1) * (x+1)^2 < (1/3)^-2$
$(x-1) * (x+1)^2 < 9$
Poi proseguo risolvendo la disequazione di grado superiore al secondo.
$log_(1/3) (x-1) + 2*log_(1/3) (x+1) >= -2$
Il cui campo di esistenza è il sistema degli argomenti dei logaritmi maggiori di 0, quindi $x > 1$
Per la risoluzione applico le proprietà dei logaritmi e ottengo:
$log_(1/3) (x-1) * (x+1)^2 >= -2$
La base è inferiore a 1 quindi inverto il segno:
$(x-1) * (x+1)^2 < (1/3)^-2$
$(x-1) * (x+1)^2 < 9$
Poi proseguo risolvendo la disequazione di grado superiore al secondo.
Va bene ma devi mantenere la stessa tipologia di disuguaglianza: nella traccia è larga, quindi rimane larga, cioè $>=$ diventa $<=$.
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