Equazione esponenziale
Ciao...
3^x+4^x=5^x
Quali e quante soluzioni ammette tale equazione esponenziale????
P.S.: siccome in questa situazione non sono riuscito ad utilizzare alcuna proprietà delle potenze, ho ragionato tenendo conto della famosa terna pitagorica ed ho quindi X=2
3^x+4^x=5^x
Quali e quante soluzioni ammette tale equazione esponenziale????
P.S.: siccome in questa situazione non sono riuscito ad utilizzare alcuna proprietà delle potenze, ho ragionato tenendo conto della famosa terna pitagorica ed ho quindi X=2
Risposte
Infatti! L'unica soluzione numerica è x=2.
Ok... ma come si dimostra che 2 è effettivamente l'unica soluzione???
Come ripeto, io ci sono arrivato seguendo una via intuitiva... non secondo un metodo che mi garantisca la totale soluzione dell'esercizio!!!
Come ripeto, io ci sono arrivato seguendo una via intuitiva... non secondo un metodo che mi garantisca la totale soluzione dell'esercizio!!!
Credo di essere riuscito a dimostrarlo.... dimmi se ti torna tutto o se ho sbagliato.
Consideriamo le due funzioni
f(x) = 3^x +4^x
e
g(x) = 5^x
Vogliamo dimostrare che tali funzioni si intersecano solo nel punto (2;25).
Dimostriamo che non esistono soluzioni per x>2.
(teniamo presente che f e g sono strettamente crescenti e prive di punti di flesso)
Per induzione e' facile dimostrare che
f(k) < g(k) se k e' un numero naturale maggiore di 2.
Questo significa che le eventuali soluzioni vanno cercate negli intervalli aperti (k, k+1).
Consideriamo, in uno di tali intervalli, i punti
A(k; g(k) )
B(k+1; f(k+1) )
C(k; f(k) )
Ora, nell'intervallo aperto (k, k+1), si ha la seguente catena di disuguaglianze:
f(x) < BC < AB < g(x) (1)
[dove con AB e BC intendo le rette per A e B e per B e C]
f e g non si intersecano in (k, k+1), siccome non si intersecano nemmeno nei naturali, segue la tesi.
In modo analogo si puo' dimostrare che non esistono soluzioni per x<2.
La serie di disuguaglianze (1) e' data dalle caratteristiche geometriche delle due curve, che ometto di specificare di volta in volta per previta'.
Ti torna?
Consideriamo le due funzioni
f(x) = 3^x +4^x
e
g(x) = 5^x
Vogliamo dimostrare che tali funzioni si intersecano solo nel punto (2;25).
Dimostriamo che non esistono soluzioni per x>2.
(teniamo presente che f e g sono strettamente crescenti e prive di punti di flesso)
Per induzione e' facile dimostrare che
f(k) < g(k) se k e' un numero naturale maggiore di 2.
Questo significa che le eventuali soluzioni vanno cercate negli intervalli aperti (k, k+1).
Consideriamo, in uno di tali intervalli, i punti
A(k; g(k) )
B(k+1; f(k+1) )
C(k; f(k) )
Ora, nell'intervallo aperto (k, k+1), si ha la seguente catena di disuguaglianze:
f(x) < BC < AB < g(x) (1)
[dove con AB e BC intendo le rette per A e B e per B e C]
f e g non si intersecano in (k, k+1), siccome non si intersecano nemmeno nei naturali, segue la tesi.
In modo analogo si puo' dimostrare che non esistono soluzioni per x<2.
La serie di disuguaglianze (1) e' data dalle caratteristiche geometriche delle due curve, che ometto di specificare di volta in volta per previta'.
Ti torna?
non l'ho capita questa dimostrazione ...
"GoldWings":
3^x+4^x=5^x. Quali e quante soluzioni ammette tale equazione esponenziale?
Sia $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \to (\frac{3}{5})^x + (\frac{4}{5})^x$. Si tratta di determinare ogni eventuale $x \in \mathbb{R}$ tale che $f(x) = 1$. Osserviamo che $f$ è monotona strettamente decrescente sull'intero dominio, poiché somma di funzioni ivi monotone strettamente decrescenti. Essendo continua e illimitata sopra e sotto, comunque fissato un $k \in \mathbb{R}$, esiste pertanto (teorema di Darboux + iniettività) un unico $x \in \mathbb{R}$ tale che $f(x) = k$. Siccome $f(2) = 1$, se ne conclude che $x = 2$ è pure soluzione unica all'equazione $3^x + 4^x = 5^x$.
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