Equazione esponenziale
Salve,
Mi trovo davanti ad un'equazione esponenziale che non riesco a risolvere.
$(1+x)^{\frac{1}{x}} = (1 + 1/x)^x$
Attraverso alcuni risolutori di equazioni online sono giunto alla sua soluzione, x = 1, ma non al metodo di svolgimento.
Se puo' essere utile:
$\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} (1 + 1/x)^x = e$
Avete qualche metodo da proporre?
Grazie
Mi trovo davanti ad un'equazione esponenziale che non riesco a risolvere.
$(1+x)^{\frac{1}{x}} = (1 + 1/x)^x$
Attraverso alcuni risolutori di equazioni online sono giunto alla sua soluzione, x = 1, ma non al metodo di svolgimento.
Se puo' essere utile:
$\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} (1 + 1/x)^x = e$
Avete qualche metodo da proporre?
Grazie
Risposte
Si può notare che se sostituiamo $t=1/x$ otteniamo $(1+x)^(1/x)=(1+t)^(1/t)$ per cui $x=t$; dalle due uguaglianze l'unica soluzione è $x=1$ ... ($x=-1$ non è accettabile)
L'unica via che vedo è quella di porre $x=1/x$ visto che il secondo membro si ottiene al primo proprio attraverso questa sostituzione. Si ottengono le due soluzioni $x_1 =1$ accettabile e $x_2 = -1$ perché sostituendo dà $0^(-1)$ che è impossibile in $RR$
Mi piaceva la $t$ ... 
Lo so che sono arrivata dopo 
, ma mi spiaceva cancellare. In definitiva abbiamo detto la stessa cosa.
, ma mi spiaceva cancellare. In definitiva abbiamo detto la stessa cosa.
Oh no, non è per quello, anzi sei grande ...
È solo il fatto che devo fare sempre una strada più complicata ... quella diritta non la vedo subito ...
Cordialmente, Alex
È solo il fatto che devo fare sempre una strada più complicata ... quella diritta non la vedo subito ...
Cordialmente, Alex
$f(x)=(1+x)^(1/x)$ è strettamente monotona nel suo dominio, l'equazione $f(x)=f(1/x)$ può pertanto avere soluzione solo in $x=1/x$
Vi ringrazio per le risposte,
Ho notato inoltre che in ogni funzione di variabili reali $f$, se $1$ o $-1$ oppure entrambi appartengono al dominio $\mathbb{D}$ di tale funzione, allora le funzioni $f(x)$ e $f(1/x)$ si intersecheranno rispettivamente nei punti di ascissa $1$, $-1$ o entrambi i punti. Magari è scemo e sicuramente inutile quello che ho constatato giocando su geogebra (magari è oltretutto sbagliato).
Mi sembrava abbastanza interessante poter determinare, conoscendo $\mathbb{D}$, dove si incontreranno sicuramente due funzioni generiche $f(x)$ e $f(1/x)$ nelle quali esiste una sorta di correlazione tra gli argomenti.
Ho notato inoltre che in ogni funzione di variabili reali $f$, se $1$ o $-1$ oppure entrambi appartengono al dominio $\mathbb{D}$ di tale funzione, allora le funzioni $f(x)$ e $f(1/x)$ si intersecheranno rispettivamente nei punti di ascissa $1$, $-1$ o entrambi i punti. Magari è scemo e sicuramente inutile quello che ho constatato giocando su geogebra (magari è oltretutto sbagliato).
Mi sembrava abbastanza interessante poter determinare, conoscendo $\mathbb{D}$, dove si incontreranno sicuramente due funzioni generiche $f(x)$ e $f(1/x)$ nelle quali esiste una sorta di correlazione tra gli argomenti.
Per verificarlo è sufficiente sostituire $1$ o $-1$ alla $x$ e noterai che è la stessa ...
In effetti era un ragionamento scemo. 
$f(x_0) = f(x_1)$ quando $x_0 = x_1$.
$f(x) = f(x^3)$, per $x = -1, 0, 1$ e se i punti sono inclusi nel dominio allora si intersecheranno proprio in quei punti.
$f(x_0) = f(x_1)$ quando $x_0 = x_1$.
$f(x) = f(x^3)$, per $x = -1, 0, 1$ e se i punti sono inclusi nel dominio allora si intersecheranno proprio in quei punti.
Ma no, non lo è ... già il fatto di porsi delle domande è lodevole ... 
Questo " ... $f(x_0) = f(x_1)$ quando $x_0 = x_1$ ..." è vero ma nel tuo caso non è immediato ...
Cordialmente, Alex
Questo " ... $f(x_0) = f(x_1)$ quando $x_0 = x_1$ ..." è vero ma nel tuo caso non è immediato ...
Cordialmente, Alex
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo