Equazione Ellisse traslata
Scrivere l'equazione dell'ellisse i cui fuochi sono F1(-5;-1) e F2(1;-1) cn semiasse minore=4
potete dirmi i passaggi quali sono?grazie
potete dirmi i passaggi quali sono?grazie
Risposte
I casi che si studiano, di solito, alle superiori, sono di ellissi con assi orizzontale e verticale (ovvero parallelli agli assi cartesiani...)
In questo caso sappiamoche i fuochi giaciono su una retta parallela all'asse x (infatti i due fuochi hanno medesima ordinata).
L'equazione canonica dell'ellisse
Esprime l'equazione di un'ellisse avente centro nell'origine, fuochi di coordinate
(-c,0) e (c,0) e punti di intersezione con l'asse delle x nei punti (-a,0) e (a,0).
L'ellisse del caso è frutto di una traslazione:
il centro dell'ellisse (che sta nel punto medio tra i due fuochi) sarà (-2,-1).
Questo significa che il centro dell'ellisse canonica punto x=0 è diventato X=-2 (ovvero X=x-2) e che y=0 è diventato Y=-1 (ovvero Y=y-1).
il semiasse minore misura 4..
Nell'ellisse avente i fuochi sull'asse x (ovvero su una retta parallela ad esso) il semiasse minore è rappresentato da b..
Sappiamo inoltre che esiste la relazione
Da cui ricaviamo a^2
Pertanto l'equazione dell'ellisse, considerato il nuovo sistema di assi XoY sarà
Abbiamo considerato però l'ellisse sul nuovo sistemi di assi.
Adesso sostituiamo la traslazione di cui sopra
Sviluppando e sommando, ottieni l'equazione dell'ellisse traslata (che poi, avendo comunque i semiassi paralleli agli assi cartesiani, può tranquillamente essere lasciata scritta così...)
Spero di essere stato chiaro!
In questo caso sappiamoche i fuochi giaciono su una retta parallela all'asse x (infatti i due fuochi hanno medesima ordinata).
L'equazione canonica dell'ellisse
[math]\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1[/math]
Esprime l'equazione di un'ellisse avente centro nell'origine, fuochi di coordinate
(-c,0) e (c,0) e punti di intersezione con l'asse delle x nei punti (-a,0) e (a,0).
L'ellisse del caso è frutto di una traslazione:
il centro dell'ellisse (che sta nel punto medio tra i due fuochi) sarà (-2,-1).
Questo significa che il centro dell'ellisse canonica punto x=0 è diventato X=-2 (ovvero X=x-2) e che y=0 è diventato Y=-1 (ovvero Y=y-1).
il semiasse minore misura 4..
Nell'ellisse avente i fuochi sull'asse x (ovvero su una retta parallela ad esso) il semiasse minore è rappresentato da b..
Sappiamo inoltre che esiste la relazione
[math]b^2=a^2-c^2[/math]
Da cui ricaviamo a^2
[math]a^2=25[/math]
Pertanto l'equazione dell'ellisse, considerato il nuovo sistema di assi XoY sarà
[math]\frac{X^2}{25}+ \frac{Y^2}{16}=1[/math]
Abbiamo considerato però l'ellisse sul nuovo sistemi di assi.
Adesso sostituiamo la traslazione di cui sopra
[math]\frac{(x-2)^2}{25}+ \frac{(y-1)^2}{16}=1[/math]
Sviluppando e sommando, ottieni l'equazione dell'ellisse traslata (che poi, avendo comunque i semiassi paralleli agli assi cartesiani, può tranquillamente essere lasciata scritta così...)
Spero di essere stato chiaro!