Equazione elementare goniometrica

[zlatan26]

ciao
ki sa risolvere con tutti i passaggi...

tg x - ctg x = 0 ?

ciao grazie

[BIT5]

Una volta scritte tangente e cotangente come

[math] \frac{ \sin x}{ \cos x} - \frac{ \cos x}{ \sin x} = 0 [/math]

Fai il minimo comune multiplo

[math] \frac{ \sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x} = 0 [/math]

Posto che

[math] \sin x \cos x \ne 0 \to \sin x \ne 0 \ U \ \cos x \ne 0 \to x \ne k \pi \ U \ x \ne \frac{ \pi}{2} + k \pi \to x \ne k \frac{ \pi}{2} [/math]

Hai

[math] \sin^2 x - \cos^2 x = 0 [/math]

Ricordando la relazione fondamentale della trigonometria

[math] \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \to \cos^2 x = 1 - \sin^2 x [/math]

Avrai

[math] \sin^2 x - (1- \sin^2 x)=0 \to 2 \sin^2 x = 1 \to \sin^2 x = frac12 [/math]

[math] \sin x= \pm \sqrt{ \frac12}} \to \sin x = \pm \frac{ \sqrt{2}}{2} [/math]

[math] x= \frac{ \pi}{4} + k \frac{\pi}{2} [/math]

[ciampax]

BIT... eccheè? Basta fare così:

[math]\tan x-\cot x=\quad\Rightarrow\quad \tan x-\frac{1}{\tan x}=0[/math]

e quindi, posto

[math]\tan x\neq 0[/math]

per cui

[math]x\neq k\pi,\ k\in\mathbb{Z}[/math]

si ha

[math]\tan^2 x-1=0\quad \Rightarrow\quad \tan x=\pm 1[/math]

e quindi

[math]x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad x=\frac{3\pi}{4}+k\pi[/math]

ed essendo

[math]\frac{3\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}[/math]

[math]x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}[/math]

.

[BIT5]

E scusate, ho la febbreeeeeeeeeeeeee.

Comunque il lrisultato era giustus lo stesso..

Un poco più lunga la faccenda, ma finalizzata ad esercizio aggiuntivo! :D

[ciampax]

:lol