Equazione e scomposizione!

[Saphira_Sev]

Come si risolve questa equazione? Non riesco a fare la scomposizione T.T
x^4-8x^2+4=0

[carlogiannini]

Questa equazione non va scomposta (o almeno non serve scomporla) perché è una biquadratica.
Cioè:

[math]ax^4+bx^2+c=0\\è\ come\ dire:\\a(x^2)^2+bx^2+c=0\\quindi\ se\ pongo:\\x^2=y\\diventa:\\ay^2+by+c=0[/math]

.
.
e si risolve con al normale formula risolutrice.
L'unica cosa IMPORTANTE è ricordarsi che i risultati trovati (se esistono), cioè

[math]y_1\ e\ y_2[/math]

.
NON sono le soluzioni dell'equazione, perché l'equazione ORIGINALE è in "x", non in "y" .
Quindi:

[math]x_{1,2}=\pm \sqrt{y_1}\\x_{3,4}=\pm \sqrt{y_2}[/math]

.
.
Io personalmente, anziché sostituire

[math]x^2=y[/math]

, preferisco applicare direttamente la formula scrivendo:

[math]x^2=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math]

.
.
perché in questo modo si vede BENE che sto calcolando "

[math]x^2[/math]

" e che dopo devo fare la radice quadrata di quello che trovo.
.
Lo steso procedimento vale per equazioni tipo:

[math]ax^6+bx^3+c=0\\x^3=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\e\\ax^8+bx^4+c=0\\x^4=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\in\ generale:\\ax^{2n}+bx^{n}+c=0\\x^{n}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math]

.
.
queste sono le equazioni biquadratiche.
.
Nel caso specifico del tuo esercizio:

[math]x^4-8x^2+4=0\\(formula\ ridotta)\\x^2=\frac{4\pm \sqrt{16-4}}{1}=4\pm \sqrt{12}\\x_{1,2}=\pm \sqrt{4- \sqrt{12}}\\x_{3,4}=\pm \sqrt{4+\sqrt{12}} [/math]

.
.
Volendo risolvere i radicali doppi, basta applicare la formula specifica per i radicali doppi che io puntualmente NON mi ricordo a memoria (perché capita di rado.
Per risparmiarti la fatica vado a cercarla e te la scrivo

Aggiunto 20 minuti più tardi:

Radicali doppi
.

[math]\sqrt{a\pm \sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}[/math]

.
.
Come vedi la formula per "eliminare" un radicale doppio è mOOOOlto più complicata del radicale di partenza. Ha senso SE e SOLO SE

[math]a^2-b[/math]

è un quadrato perfetto, in caso contrario NON SI USA.
Nel nostro caso

[math]\sqrt{4+\sqrt{12}}\\abbiamo\\16-12=4=2^2[/math]

.
.
quindi il "formulone" diventa:

[math]\sqrt{4+\sqrt{12}}=\sqrt{\frac{4+2}{2}}+\sqrt{\frac{4-2}{2}}=\sqrt3+1[/math]

.
ecc. ecc.
.
Fammi sapere.......