Equazione e disequazione goniometrica

[SnakEater25]

Salve ragazzi, durante lo studio di una funzione mi sono imbattuto in questa equazione e disequazione lineare:
$ sqrt(2)sinx+ sqrt(2)cosx+2=0 $ e (ovviamente) $ sqrt(2)sinx+ sqrt(2)cosx+2>0 $
Ora sono arrivato tramite il metodo dell'angolo aggiunto a questa conclusione.
$ sen(x + Pi/4)=-1 $ e $ sen(x + Pi/4)>-1 $
Le soluzioni quindi dovrebbero essere:
$ x=5/4 Pi $ e $ x>5/4 Pi $
Essendo però la prima un'equazione di un sistema:
$ { ( y=0 ),( y=sqrt(2)sinx+ sqrt(2)cosx+2 ):} $
la soluzione sarà questa ? $ A(5/4 Pi; 0) $

Mentre per l'altra che era parte di una disequazione fratta
$ (sqrt(2)sinx+ sqrt(2)cosx+2)/(tanx-sqrt3) >0 $
le soluzioni saranno queste?: $ ]0;Pi/3[ U ]Pi/2;5/4 Pi[ U ]4/3 Pi;3/2 Pi[ $

la funzione inziale è $ y=(sqrt(2)sinx+ sqrt(2)cosx+2)/(tanx-sqrt3) $

[donald_zeka]

$sqrt(2)sinx+sqrt(2)cosx > -2$

$sqrt(2)/2sinx+sqrt(2)/2cosx> -1$

$sin(x+pi/4)> -1$

Vero per qualsiasi $x$ appartenente a $R-(5/4pi+2kpi)$

Quindi la disequazione è valida per $R-(5/4pi+2kpi)$ e l'equazione è valida per $x=5/4pi+2kpi$

$tanx-sqrt(3)>0$

$tanx>sqrt(3)$

$pi/3+kpi < x < pi/2+kpi $

[SnakEater25]

"Vulplasir":$sqrt(2)sinx+sqrt(2)cosx > -2$

$sqrt(2)/2sinx+sqrt(2)/2cosx> -1$

$sin(x+pi/4)> -1$

Vero per qualsiasi $x$ appartenente a $R-(5/4pi+2kpi)$

Quindi la disequazione è valida per $R-(5/4pi+2kpi)$ e l'equazione è valida per $x=5/4pi+2kpi$

$tanx-sqrt(3)>0$

$tanx>sqrt(3)$

$pi/3+kpi < x < pi/2+kpi $

grazie mille mi era sfuggito il fatto che fosse -1 e quindi valeva per tutti tranne la soluzione.
Invece se avessi voluto farlo con il metodo "del sistema" come avrei dovuto fare ? perchè non mi trovo, non trovo soluzioni al sistema.

quindi è sbagliatissimo dire $sin(x+pi/4)> -1$ $ rArr $ $sin(x+pi/4)> sin(3/2Pi)$ $rArr$ $x+ pi/4 > 3/2pi $ ?

ps: il dominio è $[0; 2pi]$

[donald_zeka]

Quale sistema? questo?

${ ( y=0 ),( y=sqrt(2)sinx+sqrt(2)cosx+2 ):}$

[SnakEater25]

"Vulplasir":Quale sistema? questo?

${ ( y=0 ),( y=sqrt(2)sinx+sqrt(2)cosx+2 ):}$

questo
${ ( cos^2x +sin^2x=1 ),( sqrt(2)sinx+sqrt(2)cosx+2=0 ):}$

[donald_zeka]

Col metodo del sistema si fa così:

Si pone $cosx=X$ e $sinx=Y$ e dunque:

${ ( X^2+Y^2=1 ),( X+Y+sqrt(2)=0 ):}$

Si sostituisce la Y della seconda equazione alla prima e diventa:

$Y=-X-sqrt(2)$

$X^2+(-X-sqrt(2))^2-1=0$

$X^2+X^2+2+2sqrt(2)x-1=0$

$2X^2+2sqrt(2)x+1=0$

$(sqrt(2)X+1)^2=0$

$X=-1/sqrt(2)$

$Y=-1/sqrt(2)$

Queste X e Y corrispondono a $cosx=-1/sqrt(2)$ e $sinx=-1/sqrt(2)$ ossia a $x=5/4pi$

[SnakEater25]

Grazie mille, scusa quest'ultimo sistema alla fine ho trovato l'errore, grazie ancora gentilissimo.