Equazione di una retta e tangente

[rombo1]

Siano due triangoli rettangoli simili $OA\A_1$ e $OBB_1$ che giacciono su un piano cartesiano orientato con origine in $O$ e con retta $r$ passante in $OA$ e $OB$. Per definizione abbiamo che il rapporto tra i cateti

(1) ${A\A_1}/{OA_1} = {BB_1}/{OB_1} = tan\alpha$

Es. $OA_1 = 2$
$OB_1 = 4$

$A\A_1 = 3$
$BB_1 = 6$

$3/2 = 6/4 = tan \alpha = 1.5$

Sia ora $P(x,y)$ un punto generico si ha che (2): $y/x = -a/b$ con $tan \alpha = -a/b$

Per similitudine geometrica il triangolo rettangolo $OA\A_1$ descrive il punto $A(a_1,a_2)$ (con retta $r$ passante per $O$ ed $A$). Fisso $P(x,y)$ come punto passante per la stessa retta $r$ di $OA$.

Ora ho due punti che per (1) hanno la stessa tangente:

$y/x = a_2/a_1 = tan \alpha$
dove posso dire che se $A(2,3)$ e $P(4,6)$ risulta $3/2 = 6/4 = 1.5 = tan \alpha$

domanda: perché in (2) è definita negativa la tangente, se il rapporto tra due punti di egual grado $\alpha$ è equivalente? Mera convenzione algebrica per far tornare i calcoli?
Nel punto del libro in cui è definita la tangente non è presente la definizione di seno e coseno e la funzione generica $ax + by + c = 0$ è una derivazione del discorso suddetto e non il contrario.

Grazie

[@melia]

Perché dici che la tangente è definita negativa?
Dire che $tan alpha= -b/a$ significa solo che la tangente è l'opposto del rapporto $b/a$, potrebbe essere negativo quest'ultimo e la tangente, essendo il suo opposto, essere un numero positivo.

[rombo1]

"@melia":Perché dici che la tangente è definita negativa?
Dire che $tan alpha= -b/a$ significa solo che la tangente è l'opposto del rapporto $b/a$, potrebbe essere negativo quest'ultimo e la tangente, essendo il suo opposto, essere un numero positivo.

quindi, se intendo bene, l'opposto a cui ti riferisci è quello delle coordinate?

Se il rapporto delle coordinate dei punti passanti per una stessa retta $r$ è costante, allora il rapporto delle coordinate di $P$, cioè $y/x$, è equivalente nei punti simmetrici ad esso, rispetto ad un centro di simmetria. Giusto?