Equazione di una moneta incastrata in una parabola.

[jellybean22]

Buona sera a tutti, volevo chiedere aiuto su un giochino propostoci dal nostro professore: si tratta di una parabola dove all'interno ci si getta una moneta e che quindi finisce col bloccarsi. Bisogna trovare l'equazione di tale circonferenza e che quindi è tangente in due punti alla parabola. Le equazioni di partenza che ho considerato sono $y=x^2$ ed $x^2+y^2=1$. Sono riuscito soltanto a trovare il fascio di circonderenze che mantiene stessa ascissa del centro e stesso raggio ma che cambia ordinata del centro: $x^2+y^2-2ky+k^2-1=0$ dopodiché ho pensato di incrociare il fascio con la parabola.... ma non sono finito da nessuna parte. Avevo pensato di trovare una retta che sia tangente sia alla parabole e sia alla circonferenza nello stesso momento, quindi nello stesso punto... anche se comunque non so come fare per trovarla....

Grazie a tutti per eventuali risposte.... io nel frattempo provo a ragionare per trovare qualcos'altro!

[giammaria2]

Preso il generico punto P della parabola, scrivi l'equazione della normale alla parabola in P (cioè della perpendicolare alla tangente); sia C l'intersezione della normale con l'asse y. Ti basta ora imporre che sia PC=1.
Spero che le equazioni di partenza siano state date dal professore, perchè non rispecchiano il caso più generale: puoi scegliere il raggio come unità di misura (e quindi va bene l'equazione della circonferenza) e posizionare opportunamente gli assi cartesiani, in modo che la parabola abbia per vertice l'origine e per asse l'asse y, ma allora la sua equazione generale è $y=ax^2$

[jellybean22]

Non ho capito bene il metodo da te proposto, potresti descriverlo meglio perfavore?

Grazie della risposta.

[giammaria2]

Il punto P sta sulla parabola, quindi ha coordinate $P(u,u^2)$. Trova ora l'equazione della tangente in P; il metodo migliore dipende dal tuo livello di conoscenze (sai usare l'analisi? conosci il metodo dello sdoppiamento? Se entrambe le risposte sono no, scrivi la generica retta per P, intersecala con la parabola e imponi che le soluzioni siano coincidenti: è il metodo più lungo, ma funziona). Troverai che questa tangente ha pendenza $2u$, quindi la normale ha pendenza $-1/(2u)$ e passa per P: ne puoi scrivere l'equazione. Interseca la normale con l'asse y e trovi C; imponi ora PC=1.

[jellybean22]

Scusa se rispondo solo ora giammaria, grazie dell'aiuto, sono riuscito a risolverlo .Alla prossima, ciao!