Equazione di Trigonometria

[smemo89]

Ciao a tutti. Non riesco a risolvere questa equazione: $senx+cosx=sqrt2$ . Ho provato a usare le formule parametriche e mi è venuto passando il $sqrt2$ dall'altra parte: $(2t)/(1+t^2)+(1-t^2)/(1+t^2)-sqrt2=0$ . A questo punto m.c.m. : $(2t+1-t^2-sqrt2(1+t^2))/(1+t^2)=0$ . Il denominatore va via e mi viene $2t+1-t^2-sqrt2(1+t^2)$ . Mi potete dire se fino a quì ho sbagliato? Vi ringrazio in anticipo. Grazie & Ciao.

[bad.alex]

"smemo89":Ciao a tutti. Non riesco a risolvere questa equazione: $senx+cosx=sqrt2$ . Ho provato a usare le formule parametriche e mi è venuto passando il $sqrt2$ dall'altra parte: $(2t)/(1+t^2)+(1-t^2)/(1+t^2)-sqrt2=0$ . A questo punto m.c.m. : $(2t+1-t^2-sqrt2(1+t^2))/(1+t^2)=0$ . Il denominatore va via e mi viene $2t-t^2+sqrt2t=0$ . Comunque continuando non mi è venuto. Mi potete dire se fino a quì ho sbagliato? Vi ringrazio in anticipo. Grazie & Ciao.

forse sono la persona meno adatta....cmq....dopo il mcm dovresti avere $2t^2-2t-1+sqrt2=0$ ( HO CAMBIATO DI SEGNO).
ricorda che moltiplichi per il mcm $sqrt2*(1+t^2)$

ciao...
( se riesco continuo ad aiutarti....)

[bad.alex]

ho provato a risolverla con sistema, tenendo conto della relazione fondamentale trigonometrica: $sin^2x+cos^2x=1$ (1)
così risolvendo $sinx+cosx=sqrt2$ ho $cosx=sqrt2-sinx$
sostituendo alla (1) avrò: $sin^2x+ (sqrt2- sinx)^2 -1=0$
$sin^2x+2+sin^2x - 2sqrt2sinx-1=0
svolgendo i calcoli:
$2sin^2x - 2sqrt2sinx+1=0$
risolvendo come equazione di secondo grado:
sinx=y
$2y^2-2sqrt2y+1=0$
y=$[2sqrt2+-sqrt(8-8)]/4= 2sqrt2/4=sqrt2/2$
ecco....
così ho svolto ma allo stesso modo ti do un consiglio: non ti fidare di me....

[89mary-votailprof]

io di solito con esercizi del genere risolvo con un sistema e cioè mettendo a sistema la circonferenza goniometrica $x^2+y^2=1$ e in questo caso $y+x=sqrt2$. cioè ho trasformato la tua $senx+cosx=sqrt2$ in $y+x=sqrt2$ dato che il cosx e il senx sono le ascisse e le ordinate. poi risolvi trovandoti le intersezioni. ok?

[Steven11]

La soluzione di bad alex è corretta, l'angolo vale 45°.
Guarda quest'altro modo, che è applicabile però solo per situazioni molto semplici.
Osserva che: $sqrt2=2/sqrt2=1/sqrt2+1/sqrt2=sqrt2/2+sqrt2/2$

Quindi $sinx+cosx=sqrt2/2+sqrt2/2$
Visto che $sqrt2/2$ è un valore che dovrebbe suonarti familiare, e che richiama all'angolo di 45°, che ha il seno uguale al coseno... deduci che sia il seno che il coseno devono valere $sqrt2/2$ per soddisfare l'uguaglianza del secondo membro.
Ciao