Equazione di secondo grado

[ragoo1]

Salve.

La consegna è:

Calcolare due numeri di cui sono noti somma (s) e prodotto (p).

[math]s=\sqrt2-\sqrt3[/math]

[math]p=\sqrt3+\sqrt2-\sqrt6-1[/math]

Chiaramente basta risolvere l'equazione:

[math]x^2-\left(\sqrt2-\sqrt3\right)x+\sqrt3+\sqrt2-\sqrt6-1=0[/math]

Calcolo il discriminante:

[math]\Delta=\left(\sqrt2-\sqrt3\right)^2-4\left(\sqrt3+\sqrt2-\sqrt6-1\right)=2-2\sqrt6+3-4\sqrt3-4\sqrt2+4\sqrt6+4=9+2\sqrt6-4\sqrt3-4\sqrt2[/math]

Ora, qui è chiaro che, per uscirne, questo affare deve diventare un qualche tipo di quadrato o comunque una potenza con esponente pari.

La mia trovata (che ancora stento a capire se è sensata oppure no) è stata quella di porre:

[math]a=\sqrt2[/math]

[math]b=\sqrt3[/math]

In questo modo il discriminante diventa:

[math]\Delta=\left(a-b\right)^2-4\left(b+a-ab-1\right)=a^2-2ab+b^2-4b-4a+4ab+4=\left(a^2+2ab+b^2\right)-4a-4b+\left(4\right)=\left(^{}a+b\right)^2-4\left(a+b\right)+2^2=\left(a+b-2\right)^2[/math]

E quindi:

[math]\Delta=\left(\sqrt2+\sqrt3-2\right)^2[/math]

Ed effettivamente sembra essere corretto. Ma è questo il modo per arrivarci? Di norma sono solito prendere la strada più tortuosa possibile, quindi ne dubito.

[mathlover24]

Ciao @ragoo1

Quello che tu dici sembra essere corretto. Scomposizioni del genere spesso e volentieri si deducono sempre un po' a caso e con un po' di inventiva, l'importante è dimostrare che la tua intuizione ha senso (cosa che effettivamente hai fatto, dai conti).