Equazione di 4° grado
Salve,
come risolvereste voi l'equazione $ 3x^4 + 2x + 12$ ?
Ho provato a trovare un divisore per applicare Ruffini, ma invano. Come potrei operare?
come risolvereste voi l'equazione $ 3x^4 + 2x + 12$ ?
Ho provato a trovare un divisore per applicare Ruffini, ma invano. Come potrei operare?
Risposte
"Abrason":
... l'equazione $ 3x^4 + 2x + 12$ ...
$3x^4 + 2x + 12=0$ non ha soluzioni reali.
"chiaraotta":
[quote="Abrason"]... l'equazione $ 3x^4 + 2x + 12$ ...
$3x^4 + 2x + 12=0$ non ha soluzioni reali.[/quote].
Ciao chiaraotta:
è vero quello che hai scritto,
ma non vorrei che l'autore del post mancasse dei mezzi d'analisi necessari per capirlo.
Magari gli conviene osservare che $3*x^4+2*x+12=3*(x^4+4)+2*x=3*(x^4-4*x^2+4)+(2*x+4*x^2)=3*(cdots)^2+2*x*(2*x+1)$,
e poi fare delle considerazioni sull'insieme di negatività del secondo addendo e sui valori assunti in esso da $(cdots)^2$:
saluti dal web.
Non mi è chiaro il passaggio da $ 3(x^4 + 4) +2x $ a $ 3(x^4 -4x^2 +4) + (2x + 4x^2)$.
"theras":
....
Magari gli conviene osservare che $3*x^4+2*x+12=3*(x^4+4)+2*x=3*(x^4-4*x^2+4)+(2*x+4*x^2)=...$
...
Mi sembra che ci sia un errore; in caso dovrebbe essere così:
$3*(x^4+4)+2*x=3*(x^4-4*x^2+4)+(2*x+12*x^2)=....$
Io comunque dimostrerei che l'equazione non ha soluzioni dallo studio della funzione $f(x) = 3*x^4+2*x+12$.
Questa è continua, tende a $+oo$ per $x-> +-oo$, ha un solo punto in cui la derivata si annulla ed è un minimo con ordinata $>0$. Perciò il grafico sta nel semipiano delle $y>0$ e non interseca l'asse $x$.
Grazie mille chiarotta, ho capito tutto.
Un'ultima cosa... con lo studio della funzione è tutto facile, ma non c'è un modo più semplice per dimostrarlo? L'esercizio l'ho preso dal libro di terzo liceo, quindi immagino dovrebbe esserci un metodo ancora più semplificato
Un'ultima cosa... con lo studio della funzione è tutto facile, ma non c'è un modo più semplice per dimostrarlo? L'esercizio l'ho preso dal libro di terzo liceo, quindi immagino dovrebbe esserci un metodo ancora più semplificato
"chiaraotta":
[quote="theras"]....
Magari gli conviene osservare che $3*x^4+2*x+12=3*(x^4+4)+2*x=3*(x^4-4*x^2+4)+(2*x+4*x^2)=...$
...
Mi sembra che ci sia un errore; in caso dovrebbe essere così:
$3*(x^4+4)+2*x=3*(x^4-4*x^2+4)+(2*x+12*x^2)=....$
Io comunque dimostrerei che l'equazione non ha soluzioni dallo studio della funzione $f(x) = 3*x^4+2*x+12$.
Questa è continua, tende a $+oo$ per $x-> +-oo$, ha un solo punto in cui la derivata si annulla ed è un minimo con ordinata $>0$. Perciò il grafico sta nel semipiano delle $y>0$ e non interseca l'asse $x$.[/quote]
Maledetta ruggine!
Hai ovviamente ragione,ma sono stato fortunato perchè quell'errore/orrore non altera la bontà del mio ragionamento;
infatti,se $x in I=text{[}-1/6,0text{]}$,
(questo è l'intervallo giusto,ed in tempi migliori probabilmente non l'avrei toppato..
ma diciamo che è la fretta di scrivere in questa mia nuova conoscenza kiamata asciimath a non farmi prendere carta, penna ed occhiali come,a questo punto,forse è il caso d'ammettere di dover fare!!),
è graficamente possibile avvedersi che la parabola d'equazione $y=x^2-2$ ha punti d'ordinata compresa tra -2 e $-71/36$,
e dunque aventi quadrato certamente $>=$ del quadrato di quest'ultima frazione,
mentre quella di equazione $y=12*x^2+2*x$ hanno ordinata compresa tra $-1/12$ e 0:
pertano,nell'intervallo considerato,il valore più basso
(o minimo che dir si voglia..)
che potrà assumure l'espressione al primo membro della sua equazione è $(-71/36)^2-1/12$,
il quale è ampiamente positivo.
Esternamente ad $I$ il primo membro è invece certamente somma di numeri non negativi che non s'annullano contemporaneamente,e dunque è positivo:
quest'espressionaccia origine di tutti i nostri mali è insomma positiva in tutto $RR$,
e dunque non potrà annullarsi mai!
Poi son ovviamente d'accordissimo con la tua risoluzione,ed è la prima cosa cui avevo pensato,
ma non sò se l'autore del post è al V° anno:
"theras":
Ciao chiaraotta:
è vero quello che hai scritto,
ma non vorrei che l'autore del post mancasse dei mezzi d'analisi necessari per capirlo.
Magari gli conviene osservare che $3*x^4+2*x+12=3*(x^4+4)+2*x=3*(x^4-4*x^2+4)+(2*x+4*x^2)=3*(cdots)^2+2*x*(2*x+1)$,
e poi fare delle considerazioni sull'insieme di negatività del secondo addendo e sui valori assunti in esso da $(cdots)^2$:
saluti dal web.
mi son messo al riparo dal caso in cui non avesse ancora iniziato con i concetti di quell'Analisi che,mai come in questo caso,
definirei santa per il tempo e la fatica che ci fà risparmiare..
"Abrason":
Grazie mille chiarotta, ho capito tutto.
Un'ultima cosa... con lo studio della funzione è tutto facile, ma non c'è un modo più semplice per dimostrarlo? L'esercizio l'ho preso dal libro di terzo liceo, quindi immagino dovrebbe esserci un metodo ancora più semplificato
Saluti dal web.
Grazie a tutti. Per fortuna un po' di analisi la conosco, quindi non ho problemi anzi, è servita molto in questo caso!
anzi, è servita molto in questo caso!
Dici che l'esercizio è in un libro di terza liceo, quindi la retta e il grafico base delle potenze di x dovrebbe essere argomenti noti. Basta quindi confrontare i due grafici:
$y=x^4$ e $y= -x/3-4$ per vedere che il primo è sempre maggiore del secondo, non serve analisi, basta un po' di geometria analitica.
$y=x^4$ e $y= -x/3-4$ per vedere che il primo è sempre maggiore del secondo, non serve analisi, basta un po' di geometria analitica.
"@melia":
...
Basta quindi confrontare i due grafici:
$y=x^4$ e $y= -x/3-4$
....
Mi sembrerebbe
$y=x^4$ e $y= -2/3x-4$
"chiaraotta":
Mi sembrerebbe
$y=x^4$ e $y= -2/3x-4$
Vero, ho perso un 2
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo