Equazione dell'ellisse

[HowardRoark]

Mi stavo riguardando la dimostrazione dell'equazione dell'ellisse sul piano e c'è una cosa che non mi è ancora chiara: come faccio ad essere sicuro che, nei due elevamenti al quadrato che faccio, non introduco soluzioni estranee? Le equazioni irrazionali le devo ancora ripassare, però è abbastanza chiaro che quando si elevano alla seconda due membri di un'equazione si possano introdurre soluzioni che non c'erano nell'equazione di partenza.
Vi do un po' di contesto:

$2a := $ somma costante delle distanze di un generico punto dell'ellisse dai fuochi.

I fuochi dell'ellisse che considero stanno sull'asse $x$ e $O$ è il centro di simmetria:
$F_1 = (-c,0)$, $F_2 = (c,0)$.
Un punto $P$ appartiene all'ellisse se e solo se:
$PF_1 + PF_2 = 2a <=> sqrt((x+c)^2+y^2) = 2a - sqrt((x-c)^2+y^2)$. Qui elevo al quadrato i due membri, faccio altri passaggi (tra cui un altro elevamento al quadrato) e ottengo l'equazione canonica dell'ellisse.

[gugo82]

Così, "a occhio", perché primo e secondo membro sono positivi.