Equazione della retta e disequazioni fratte

[paperino001]

Salve, in un sito ho trovato questo esercizio:

I punti $A=(-4,1), B=(-1,-3),C=(7,3)$ sono tre vertici consecutivi di un parallelogramma. Trovare le coordinate del quarto vertice

non ho capito perchè se l'equazione della retta è $mx+q$ qua viene risolto facendo questa specie di sottrazione tra le coordinate così:

trovo l'equazione della retta per due punti $A(-4,1) B(-1,-3) $
formula: $ (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) $

con $ x1=-1 x2=-4 y1=-3 y2=1$

da dove ricava quella formula?
e poi come si trova la retta parallela a quella passante per AB ?

avendo l'equazione o i punti di una retta, come si traccia la parallela (sempre analiticamente) ?


nella disequazioni fratte di 1 grado, perchè bisogna porre in lumeratore maggiore o uguale a zero? non potrebbe essere negativo?

grazie!

[@melia]

Se vuoi trovare la retta passante per A e B hai diverse strade:
una di queste è prendere l'equazione generale della retta $y=mx+q$, sostituire prima le coordinate di A e poi quelle di B, risolvere il sistema in $m$ e $q$
un'altra è la formula della retta passante per 2 punti $(y-y_1)/(y_2-y_1)=(x-x_1)/(x_2-x_1)$, la dimostrazione della validità di questa formula c'è sicuramente nel tuo libro di testo.
Una volta trovata la retta AB, metti in evidenza il suo coefficiente angolare $m$ e poi cerca nel tuo libro la condizione di parallelismo tra due rette. Devi scrivere l'equazione della retta passante per C e parallela ad AB.
Ripeti tutto l'ambaradan per la retta parallela a BC e passante per A e poi interseca le due rette.

Suppongo, però, che tu conosca le proprietà dei parallelogrammi, ricordi per caso qualcosa relativo alle diagonali? Ti potrebbe essere utile e ti eviterebbe molti calcoli.

Nelle disequazioni devi studiare il segno del numeratore e del denominatore perché poi li devi rappresentare nel grafico di studio dei segni, è opportuno che tu studi sempre lo stesso segno, così non ti devi chiedere ogni volta: "Ma che segno volevo studiare per questo fattore?". È quindi opportuno studiare sempre quando il segno è positivo, così dove la positività non è verificata significa che il segno è negativo.

[paperino001]

no, ancora non ho il libro dove ci sono queste cose (dell'anno prossimo), avete qualche link su internet dove c'è questa dimonstrazione?

quindi in teoria posso porre il numeratore minore o uguale a 0?
una volta posto in questo modo poi i segni di numeratore fratto denominatore nel grafico sono invertiti?

.
grazie

[@melia]

Ecco il link di geometria analitica

Per le disequazioni, ovviamente, devi ricordare la regola dei segni e rappresentare nel grafico il segno corretto.

[paperino001]

ok vedrò di capirci qualcosa

se io ho la disequazione $a(x+2) > 1+2a$ svolgo i calcoli e trovo $ax > 1/a$
se la $a$ è positiva, la soluzione è quella, ma se la $a$ è negativa perchè basta semplicemente invertire il simbolo, cioè $x < 1/a$ ?

ho notato che questo "trucco" si può fare in tutto questo tipo di disequazioni, ma perchè? si può in un certo senso dimostrare?


grazie ancora!

[@melia]

Se avessi $-2x>1$ quale sarebbe la soluzione?

[paperino001]

$x < -1/2$ ?

è questo che non capisco, perchè ci viene il - davanti, in questo caso, a $1/2$ mentre bisogna solo cambiare il verso del simbolo lasciando uguali i segni?

[@melia]

"paperino00":$x < -1/2$

D'accordo, ma da dove viene il segno meno? Non è solo un altro modo per scrivere $x<1/(-2)$? Hai diviso per un numero negativo e quindi hai cambiato il verso della disuguaglianza, allo stesso modo se $a<0$ dentro ad $a$ c'è il segno meno, quindi $ax>1$ diventa $x<1/a$, esattamente come $-2x>1$ diventa $x<1/(-2)$

[paperino001]

ok penso di avere capito, grazie!

oggi ho sbagliato due esercizi ma non capisco che errori ho fatto, potresti aiutarmi a trovarli?

1)
[tex]\begin{cases} 2x - a +3 \ge 0 & \\ a + 2 - 2x \ge 0
\end{cases}[/tex] risolvo questo sistema e ottengo [tex]\begin{cases} x \ge \frac{a-3}{2} & \\ x \le \frac{a+2}{2}
\end{cases}[/tex]
A questo punto io ho posto i 3 casi cioè se $(a-3)/2$ è maggiore, minore o uguale a $(a+2)/2$ e l'unica disequazione che mi è risultata vera per tutti i numeri appartenenti ai reali è $a-3 < a+2$ gli altri 2 casi sono impossibili.
Fino a qua dovrebbe essere giusto, però poi quando rappresento i capisaldi mi viene fuori che la soluzione è $\frac{a-3}{2} \le x \le \frac{a+2}{2}$ mentre il risultato del libro è $\frac{a-3}{2} \le x < \frac{a+2}{2}$.
C'è un errore di stampa oppure io ho sbagliato qualche passaggio?



esercizio 2)
in questo esercizio bisogna risolvere questo sistema di disequazioni [tex]\begin{cases} 3ax < 0 & \\ a-ax+5a < 0
\end{cases}[/tex] con $a<0$
Visto che la $a$ deve essere minore di zero io ho pensato di mettere questo dato nel sistema (non sono sicuro che è giusto farlo), così ho tre disequazioni nel sistema [tex]\begin{cases} 3ax < 0 & \\ a-ax+5a < 0 & \\ a<0
\end{cases}[/tex] ma risolvendo in funzione della x trovo [tex]\begin{cases} x < 0 & \\ x>6 & \\ a<0
\end{cases}[/tex] che è un sistema impossibile, mentre il risultato dovrebbe essere $0
Grazie!!

[@melia]

Nel primo esercizio credo che ci sia solo un errore di stampa e che la tua soluzione sia corretta.

Per il secondo
[tex]\begin{cases} 3ax < 0 & \\ a-ax+5a < 0
\end{cases}[/tex] con $a<0$

Non serve mettere la condizione nel sistema, ma sei obbligato a tenerne conto:
per risolvere $3ax < 0$ devi ricordare che $a$ è negativo, quindi dividendo per $a$ cambia il verso della disuguaglianza e la soluzione di questa disequazione è $(3ax)/(3a)>0/(3a)$ cioè $x>0$
per risolvere $a-ax+5a < 0$ cioè $-ax<-6a$ siccome $a$ è negativo, $-a$ è positivo, quindi la soluzione è $(-ax)/(-a)<(-6a)/(-a)$ da cui $x<6$

Adesso metti a sistema e risolvi!

[paperino001]

hai ragione mi ero dimenticato che $a$ è negativo


in $-ax<-6a$ ponendo $a<0$ sappiamo che la [tex]a[/tex] è negativa quindi ora è positiva perchè c'è il meno davanti, ma se oltre alla a diventata positiva l'altra condizione è $x<0$ l'equazione in funzione della x viene $x>6$ giusto?


grazie!

[@melia]

Quella su x non è una condizione perché x è la tua variabile, inoltre è una diversa disequazione, e poi non dividi mica per x.

[paperino001]

ok, supponiamo che la disequazione era $-axz<-6a$ con $z<0$ la soluzione in funzione della $x$ diventa $x>6/z$ ?

se nell'esercizio [tex]\begin{cases} 3ax < 0 & \\ a-ax+5a < 0
\end{cases}[/tex] con $a<0$ al posto di $a<0$ c'era qualcosa come $a<10$ bisognava studiare quando $a$ è positiva e quando $a$ è negativa?

[@melia]

Se ho la semplice disequazione $3ax<0$ per ottenere la soluzione in $x$ devo dividere per il coefficiente $a$ e quindi devo distinguere i due casi:
se $a>0$, poiché si deve dividere per un numero positivo, la disequazione rimane equiversa e si ottiene $x<0$
se $a<0$, poiché si deve dividere per $a$ che è un numero negativo, la disequazione si controverte e si ottiene $x>0$

Nel caso avessi avuto la condizione $a<10$ l'esercizio precedente avrebbe le due condizioni $0
Quello che hai scritto nella prima riga è corretto per quanto riguarda la matematica, per la lingua italiana, invece, piangiamo la morte del congiuntivo e del condizionale.

[paperino001]

"@melia":

Nel caso avessi avuto la condizione $a<10$ l'esercizio precedente avrebbe le due condizioni $0
quindi va risolto prima come se fosse negativo e poi come positivo lasciando scritto che deve essere minore di 10, ottenendo due soluzioni (se $a<0$ e se $0

nel mio libro c'è una specie di dimostrazione della formula [tex]|f(x)| < k \Longleftrightarrow -k0$ . E' divisa in se f(x) è maggiore o uguale a sero e se è minore di zero, per velocità copio solo la prima:

praticamente arriva a questo sistema [tex]\begin{cases} f(x) \geq 0 & \\ f(x) < k
\end{cases}[/tex] poi arriva a [tex]$0 \leq f(x) < k$[/tex] e da qui a [tex]$-k < f(x) < 0$[/tex] volevo sapere cosa è successo in questi ultimi due passaggi? dove è finito l'uguale nel minore o uguale e che operazioni ha fatto per arrivare alla soluzione finale? perchè al posto di k c'è lo 0?


grazie

[@melia]

In matematica c'è bisogno di precisione: scrivere solo il primo sistema e chiedere informazioni sul secondo non è il massimo della precisione.

[paperino001]

Praticamente la formula che il libro vuole dimostrare è questa:

[tex]|f(x)| < k \Longleftrightarrow -k0$ .

per dimostrarla imposta questi 2 sistemi:

[tex]\begin{cases} f(x) \geq 0 & \\ f(x) < k
\end{cases}[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] [tex]$0 \leq f(x) < k$[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] [tex]$-k < f(x) < 0$[/tex]


[tex]\begin{cases} f(x) < 0 & \\ f(x) > -k
\end{cases}[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] [tex]$-k < f(x) < 0$[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] [tex]0 \leq f(x) < k$[/tex]


fino al secondo passaggio l'ho capita, però non capisco come e perchè nell'ultimo passaggio sono cambiati i versi e i segni in quel modo?
per esempio se io sottraggo $-k$ nel secondo passaggio del primo sistema poi non dovrebbe risultare [tex]-k \leq f(x) - k <0[/tex] al posto del risultato del libro?

grazie!

[@melia]

Non capisco le frecce di implicazione che hai messo alla fine dei sistemi, in particolare si parte da
[tex]|f(x)| < k \Longleftrightarrow -k0$ .

si impostano i 2 sistemi:

[tex]\begin{cases} f(x) \geq 0 & \\ f(x) < k
\end{cases}[/tex] e [tex]\begin{cases} f(x) < 0 & \\ f(x) > -k
\end{cases}[/tex]

dal primo sistema ottieni [tex]$0 \leq f(x) < k$[/tex] e dal secondo [tex]$-k < f(x) < 0$[/tex]

infatti l'unione delle due soluzioni dà la forma cercata:
[tex]$-k < f(x) < k$[/tex]

fine della storia

[paperino001]

ma allora perchè il libro fa anche il terzo passaggio?
dove finisce l'uguale del [tex]\leq[/tex] nell'unione finale?


grazie

[@melia]

Prendi l'asse y (di solito si pone $f(x)=y$ ) e su tale retta segna l'unione dei due intervalli $-k

Cita

Segnala

[paperino001]

nelle disequazioni fratte confrontate con lo zero per esempio $(2+x)/(4x-5) \leq 0$ una volta posto il denominatore diverso da zero perchè non è possibile eliminarlo come nelle equazioni?
i principi delle disequazioni dicono che è possibile.