Equazione della retta.
Ciao a tutti, rieccomi.
Oggi pomeriggio ho seguito la seconda lezione del corso di recupero, argomento: l'equazione della retta.
Diciamo che il professore dapprima ha voluto esporre la teoria senza addentrarsi troppo in esempi concreti e poi ha preferito dimostrare il tutto tramite un esercizio.
Non so perché, ma quando ha spiegato la teoria si è soffermato abbastanza a lungo spiegando dettagliatamente tutte le formule e devo ammettere che la teoria l'ho capita abbastanza bene. Quando ha spiegato l'argomento basandosi un esercizio non c'ho capito più nulla e lui, dando per scontato che noi ricordassimo tutto (allora perché ci hanno lasciato la matematica?), ha eseguito i passaggi essendo sicuro che non stessimo seguendo passo passo ed infatti, quando ha chiesto se avessimo capito e ci ha chiesto inoltre di appropinquarsi alla lavagna per svolgere un esercizio, tutti i miei compagni hanno improntato un'espressione perplessa e tutti si sono rifiutati, ovviamente perché non avevano capito molto e lui:"Allora avete capito tutto, bene".
Ho la prossima lezione Venerdì, e stavolta, rispetto a tutte le altre volte in cui non mi sono arrovellato su, non voglio arrendermi e chiedo umilmente e soprattutto gentilmente aiuto a voi per chiarire quest'argomento in modo da poter affrontare tranquillamente, almeno lo spero, l'argomento di Venerdì.
Scrivo tutto ciò che ha spiegato e posto i miei dubbi.
Dapprima ha scritto la seguente, classica formula: $ax + by + c = 0$.
Poi ha scritto $y = mx + q$. Questa formula, se non ricordo male, serve per ricavare la $y$ qualora noi fossimo a conoscenza del coefficiente angolare $m$, e dell'incognita $x$. $q$ non so cosa sia..
Ha definito $y$ variabile dipendente e $x$ variabile indipendente; spero di non sbagliarmi, possibilmente è il contrario.
Poi ha scritto: $m = -a/b$. Ciò dovrebbe significare che il coefficiente angolare, che sarebbe la pendenza della retta, si potrebbe ricavare dal rapporto di $-a$ con $b$.
Poi, ha scritto $m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$, suppongo un'altra formula per ricavare il coeff. angolare.
Poi, facendoci un esempio sul piano cartesiano che ho capito, ha scritto $0 < alfa < 90° m> 0$, $90° < alfa < 180° m < 0$ che più o meno ho capito.
Poi ha concluso con queste:
$ax + by = 0$ -> $y = mx$;
$ax + c = 0$ -> $x = k$;
$by + c = 0$ -> $y = k$;
$m = -1/m$;
$y = 4x + k$ -> fascio di rette, ma non so cosa sia k.
$y - y_0 = m(x - x_0)$ -> possiamo calcolarci l'equazione della retta se sono noti il punto e il coefficiente angolare (non riesco a spiegarmi cosa siano $x$ e $x_0$).
$(y - y_1)/(y_2 - y_1) = (x - x_1)/(x_2 - x_1)$ -> possiamo calcolarci l'equazione della retta se conosciamo il coeff. angolare ma non i punti.
Esercizio pratico:
"Data la retta di equazione $y = ax + a - 2$ (vorrei sapere cosa c'entri con la formula di prima) determinare per quali valori del parametro $a$ essa:
1. passa per A (-1;2);
2. passa per B (3;0);
3. è parallela all'asse x;
4. è parallela alla retta $y = -3x + 1$;
5. è perpendicolare alla retta $2x - y - 1 = 0$;
6. forma con l'asse x un angolo ottuso."
Il prof, sicurissimo che non riuscissimo a seguire bene (era impossibile fermarlo), ha risolto così:
1. $2 = -a + a - 2$ - > ha eliminato le due $a$ e ha tratto la conclusione senza spiegarci cosa stesse facendo.
2. $0 = 3a + a - 2$;
3. $a = 1/2$;
4. $a = 0$;
5. $m = -2/-1 = 2$ -> $a = -1/2$;
6. $a < 0$.
Cosa ho capito? Niente !!
Devo svolgere dei problemi per casa, spero di poter ricevere il vostro aiuto.
Grazie come sempre.
Oggi pomeriggio ho seguito la seconda lezione del corso di recupero, argomento: l'equazione della retta.
Diciamo che il professore dapprima ha voluto esporre la teoria senza addentrarsi troppo in esempi concreti e poi ha preferito dimostrare il tutto tramite un esercizio.
Non so perché, ma quando ha spiegato la teoria si è soffermato abbastanza a lungo spiegando dettagliatamente tutte le formule e devo ammettere che la teoria l'ho capita abbastanza bene. Quando ha spiegato l'argomento basandosi un esercizio non c'ho capito più nulla e lui, dando per scontato che noi ricordassimo tutto (allora perché ci hanno lasciato la matematica?), ha eseguito i passaggi essendo sicuro che non stessimo seguendo passo passo ed infatti, quando ha chiesto se avessimo capito e ci ha chiesto inoltre di appropinquarsi alla lavagna per svolgere un esercizio, tutti i miei compagni hanno improntato un'espressione perplessa e tutti si sono rifiutati, ovviamente perché non avevano capito molto e lui:"Allora avete capito tutto, bene".
Ho la prossima lezione Venerdì, e stavolta, rispetto a tutte le altre volte in cui non mi sono arrovellato su, non voglio arrendermi e chiedo umilmente e soprattutto gentilmente aiuto a voi per chiarire quest'argomento in modo da poter affrontare tranquillamente, almeno lo spero, l'argomento di Venerdì.
Scrivo tutto ciò che ha spiegato e posto i miei dubbi.
Dapprima ha scritto la seguente, classica formula: $ax + by + c = 0$.
Poi ha scritto $y = mx + q$. Questa formula, se non ricordo male, serve per ricavare la $y$ qualora noi fossimo a conoscenza del coefficiente angolare $m$, e dell'incognita $x$. $q$ non so cosa sia..
Ha definito $y$ variabile dipendente e $x$ variabile indipendente; spero di non sbagliarmi, possibilmente è il contrario.
Poi ha scritto: $m = -a/b$. Ciò dovrebbe significare che il coefficiente angolare, che sarebbe la pendenza della retta, si potrebbe ricavare dal rapporto di $-a$ con $b$.
Poi, ha scritto $m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$, suppongo un'altra formula per ricavare il coeff. angolare.
Poi, facendoci un esempio sul piano cartesiano che ho capito, ha scritto $0 < alfa < 90° m> 0$, $90° < alfa < 180° m < 0$ che più o meno ho capito.
Poi ha concluso con queste:
$ax + by = 0$ -> $y = mx$;
$ax + c = 0$ -> $x = k$;
$by + c = 0$ -> $y = k$;
$m = -1/m$;
$y = 4x + k$ -> fascio di rette, ma non so cosa sia k.
$y - y_0 = m(x - x_0)$ -> possiamo calcolarci l'equazione della retta se sono noti il punto e il coefficiente angolare (non riesco a spiegarmi cosa siano $x$ e $x_0$).
$(y - y_1)/(y_2 - y_1) = (x - x_1)/(x_2 - x_1)$ -> possiamo calcolarci l'equazione della retta se conosciamo il coeff. angolare ma non i punti.
Esercizio pratico:
"Data la retta di equazione $y = ax + a - 2$ (vorrei sapere cosa c'entri con la formula di prima) determinare per quali valori del parametro $a$ essa:
1. passa per A (-1;2);
2. passa per B (3;0);
3. è parallela all'asse x;
4. è parallela alla retta $y = -3x + 1$;
5. è perpendicolare alla retta $2x - y - 1 = 0$;
6. forma con l'asse x un angolo ottuso."
Il prof, sicurissimo che non riuscissimo a seguire bene (era impossibile fermarlo), ha risolto così:
1. $2 = -a + a - 2$ - > ha eliminato le due $a$ e ha tratto la conclusione senza spiegarci cosa stesse facendo.
2. $0 = 3a + a - 2$;
3. $a = 1/2$;
4. $a = 0$;
5. $m = -2/-1 = 2$ -> $a = -1/2$;
6. $a < 0$.
Cosa ho capito? Niente !!
Devo svolgere dei problemi per casa, spero di poter ricevere il vostro aiuto.
Grazie come sempre.
Risposte
Allora variabile indpendente vuol dire ke se assegni un valora a caso alla $x$ ottieni la $y$
La formula $m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$ serve per trovare il coefficente per una retta che passa per due punti noti di coordinate ($x_0$; $y_0$)
Per trovare una retta che passa per un punto sostituisci alle X e Y della retta le coordinate del punto, avendo come incognita $a$
Pere essere parallela all'asse x il coefficente angolare deve essere zero
Per essere parallela ad una retta deve avere lo stesso coefficente
Per essere perpendicolare il coefficente angolare deve essere $m=-1/m_1$
La formula $m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$ serve per trovare il coefficente per una retta che passa per due punti noti di coordinate ($x_0$; $y_0$)
Per trovare una retta che passa per un punto sostituisci alle X e Y della retta le coordinate del punto, avendo come incognita $a$
Pere essere parallela all'asse x il coefficente angolare deve essere zero
Per essere parallela ad una retta deve avere lo stesso coefficente
Per essere perpendicolare il coefficente angolare deve essere $m=-1/m_1$
Per formare un angolo ottuso $m<0$
"Feuerbach":
Esercizio pratico:
"Data la retta di equazione $y = ax + a - 2$ (vorrei sapere cosa c'entri con la formula di prima) determinare per quali valori del parametro $a$ essa:
1. passa per A (-1;2);
2. passa per B (3;0);
3. è parallela all'asse x;
4. è parallela alla retta $y = -3x + 1$;
5. è perpendicolare alla retta $2x - y - 1 = 0$;
6. forma con l'asse x un angolo ottuso."
Il prof, sicurissimo che non riuscissimo a seguire bene (era impossibile fermarlo), ha risolto così:
1. $2 = -a + a - 2$ - > ha eliminato le due $a$ e ha tratto la conclusione senza spiegarci cosa stesse facendo.
2. $0 = 3a + a - 2$;
3. $a = 1/2$;
4. $a = 0$;
5. $m = -2/-1 = 2$ -> $a = -1/2$;
6. $a < 0$.
complimenti sinceri per la voglia di capire!!!
provo a rispondere (sinteticamente) passo passo:
"1. passa per A (-1;2);
1. $2 = -a + a - 2$ - > ha eliminato le due $a$ e ha tratto la conclusione senza spiegarci cosa stesse facendo."
l'equazione della retta è:
$y = ax + a - 2$
ha sostituito -1 a $x$ e 2 a $y$
Se la retta passa per il punto $A$, l'uguaglianza deve essere verificata.
Così trova:
$2 = -a + a - 2$
cioè:
$2 = - 2$
il che è falso, quindi la retta data NON passa per il punto $A$
(e questo vale per ogni valore del parametro $a$, visto che nei conti gentilmente si è tolto di mezzo)
"2. passa per B (3;0);
2. $0 = 3a + a - 2$;"
è lo stesso tipo di conti di prima
sostituendo 3 ad $x$ e 0 ad $y$ trova appunto:
$0 = 3a + a - 2$
che viene:
$0 = 4a - 2$
la vediamo come equazione nell'incognita $a$, in quanto vogliamo vedere per quale valore del parametro $a$ è soddisfatta (il che è come dire per quali valori del parametro $a$ il punto $B$ sta sulla retta)
risolviamola, come si fa normalmente:
$4a = 2$
e quindi $a = 1/2$
"3. è parallela all'asse x;
3. $a = 1/2$"
per essere parallela all'asse delle $x$, il suo coefficiente angolare deve essere 0
l'equazione è: $y = ax + a - 2$
il coefficiente angolare è $a$ e quindi semplicemente dev'essere $a=0$.
NOTA: hai sbagliato a ricopiare la risposta. Hai messo come 4. la risposta all'esercizio 3.
per ora mi fermo qui
$q$ è l'intercetta con l'asse delle $y$
Ho capito poco e niente..
Scusate, ho riletto nuovamente con più attenzione.
Adesso ho capito.
Non mi era chiara la formula $m = (y - y_1)/(y_2 - y_1) = (x - x_1)/(x_2 - x_1)$..
Adesso ho capito.
Non mi era chiara la formula $m = (y - y_1)/(y_2 - y_1) = (x - x_1)/(x_2 - x_1)$..
"Feuerbach":
"Data la retta di equazione $y = ax + a - 2$ (vorrei sapere cosa c'entri con la formula di prima) determinare per quali valori del parametro $a$
Eccome se c'entra con l'equazione di prima...
nell'esercizio $a=m ("dell'equazione generica")$ $a-2$ rappresenta invece la $q$,ossia il punto in cui la retta intercetta l'asse delle ordinate
fin qua ci sei?
"Feuerbach":
Scusate, ho riletto nuovamente con più attenzione.
Adesso ho capito.
Non mi era chiara la formula $m = (y - y_1)/(y_2 - y_1) = (x - x_1)/(x_2 - x_1)$..
ok
"Sturmentruppen":
[quote="Feuerbach"] "Data la retta di equazione $y = ax + a - 2$ (vorrei sapere cosa c'entri con la formula di prima) determinare per quali valori del parametro $a$
Eccome se c'entra con l'equazione di prima...
nell'esercizio $a=m ("dell'equazione generica")$ $a-2$ rappresenta invece la $q$,ossia il punto in cui la retta intercetta l'asse delle ordinate
fin qua ci sei?[/quote]
No..
Provo anch'io a dire la mia.
Partiro' da lontano perché preferisco
- Feuerbach, mi scuso perché il mio post è lungo, ma non conosco il tuo livello di preparazione -
Tutti sappiamo cosa sia il piano cartesiano. Per farla breve, si tratta di un piano che consiste di punti, e ogni punto è rappresentato dalla sua ascissa e dalla sua ordinata, ovvero due numeri reali che ne determinano il primo la distanza "in orizzontale" e il secondo "in verticale" dall'origine (l'origine è quel punto che ha entrambe le coordinate nulle). Usualmente l'ascissa si chiama $x$ e l'ordinata $y$.
Per esempio sono punti $(5,9)$ (ascissa 5 e ordinata 9), $(0,3/4)$ (ascissa 0 e ordinata 3/4), $(-1,\pi)$ (ascissa -1 e ordinata $\pi$) e via dicendo.
Il punto (0,0) è privilegiato e come ho detto si chiama origine.
Ora, uno potrebbe farsi per esempio la seguente domanda:
"quali sono i punti del piano (x,y) tali che l'ordinata y è esattamente il doppio dell'ascissa x?"
Uno potrebbe attendersi che questi strani punti stiano uno a destra, uno a sinistra, uno sotto e uno sopra e gli altri chi lo sa.
Invece no: stanno tutti esattamente su una stessa "linea dritta", o retta, e tutti i punti di tale retta hanno l'ordinata doppia dell'ascissa.
Ora, se un punto (x,y) ha l'ordinata doppia dell'ascissa possiamo scrivere equivalentemente
y = ordinata = 2x = doppio dell'ascissa
Ecco che allora i punti che cerchiamo, quelli che hanno ordinata doppia dell'ascissa, sono rappresentati dall'equazione $y=2x$. Cosa significa "rappresentati"? Significa che tali punti sono del tipo (x,y) e soddisfano la condizione y=2x. Ovvero se prendi un tale punto e sostituisci l'ascissa a x e l'ordinata a y nell'equazione
$y=2x$
ottieni una cosa vera. I punti cercati non sono altro quindi che le (infinite) soluzioni dell'equazione $y=2x$.
Per esempio il punto (3,6) è uno di quelli che cerchiamo perché sostituendo x=3 e y=6 nell'equazione $y=2x$ otteniamo 6 = 2*3 e questo è vero. Se invece prendiamo (3,7) e proviamo a sostituire otteniamo 7 = 2*3 che invece è falso.
Chiamiamo "retta" l'insieme dei punti (x,y) che verificano l'equazione $y=2x$ e se un punto verifica tale equazione diciamo che il punto appartiene alla retta. Allora (3,6) appartiene alla retta, e (3,7) invece no. Nota bene: essa non è l'unica retta, ma è una retta.
Ora, passando alla teoria, mettiamo che tu abbia una equazione del tipo
$ax+by+c = 0$
dove x e y sono incognite e a,b,c sono termini a te noti (per esempio $2x-5y+3=0$ è un'equazione di quel tipo) ma chiamati a,b,c per restare nell'ambito più generale possibile.
Essa, se uno tra a e b non è zero, "rappresenta sempre una retta".
Per "rappresenta una retta" intendo che - scelti a,b,c, quindi scelta una retta - se prendi un punto di tale retta e sostituisci ascissa e ordinata rispettivamente ad x e y nell'equazione $ax+by+c = 0$ ottieni una cosa vera.
Per "sempre" intendo "per ogni valore di a,b,c" (in cui, come ho specificato, uno tra a e b non è zero).
Siccome voglio che uno tra a e b non sia zero (perché se sono entrambi zero ottieni 0*x+0*y+c=0 che non è più un'equazione interessante -ovvero ha "tutto" o "niente" come soluzione a seconda dell'annullarsi o meno di c - perché sono sparite le incognite) possiamo considerare per esempio il caso in cui b non sia zero, ovvero $b \ne 0$ (ovviamente cosi' facendo non stiamo rappresentando tutte le rette - quelle che hanno b=0 non le stiamo rappresentando - , ma è solo per chiarire le cose). Allora possiamo prendere l'equazione
$ax+by+c = 0$
e dividere entrambi i membri per b (NB: solo se b non è zero possiamo dividere per b) ottenendo la stessa equazione riscritta in un altro modo:
$a/bx+y+c/b=0$
Se ora noi portiamo $a/bx$ e $c/b$ a destra otteniamo la stessa equazione riscritta in un altro modo:
$y=-a/bx-c/b$
Adesso viene spontaneo chiamare $-a/b$ e $-c/b$ in altri modi. Usualmente $-a/b$ si chiama coefficiente angolare e si indica con m, e $-c/b$ si indica con q (non ha, che io sappia, un nome particolare). Perché questi nomi? Per avere due lettere, o "parametri", m e q, anziché tre, a,b,c. Ogni volta che si dà un valore a m ed un valore a q si ottiene una retta.
Per esempio con m=4 e q=-2 si ottiene la retta
$y=4x-2$
Il nostro caso di prima aveva m=2 e q=0:
$y=2x$
Una retta, se come ce la immaginiamo è una "linea dritta", deve essere determinata dal passaggio da due soli punti, ovvero per descriverla completamente basta imporre che due dati punti (diversi tra loro!) le appartengano. Allora per esempio mettiamo di voler trovare la retta che passa per (2,1) e per (0,2). Ce n'è solo una perché questi due punti sono distinti.
Come facciamo? Possiamo provare a vedere se l'equazione di questa retta è del tipo $y=mx+q$ (con "del tipo" intendo "per opportuni valori di m e q"). Il problema quindi è trovare tali m e q.
Ma in tal caso, come sappiamo, sostituendo ascissa e ordinata di tali punti in y=mx+q dobbiamo ottenere delle cose vere. Ovvero, dobbiamo sostituire x=2 e y=1 ottenendo
$1=2m+q$
e questa cosa deve essere vera. Poi dobbiamo sostituire x=0 e y=2 ottenendo
$2=q$
e questa cosa deve essere vera. Queste due ultime cose che ho scritto non sono altro che equazioni in m e q, ed entrambe devono essere verificate. In altre parole, hai un sistema di due equazioni nelle due incognite m e q (in questo sistema m e q sono incognite perché le dobbiamo trovare, in accordo al fatto che abbiamo vincolato la retta ad avere determinate proprietà - il passaggio per due punti).
Ma in questo caso il sistema è facile perché la seconda equazione dice subito che $q=2$, e sostituendo nella prima hai $1=2m+2$, ovvero $m=-1/2$. Quindi la retta che cerchiamo è quella del tipo
$y=mx+q$
in cui $m=-1/2$ e $q=2$. Ovvero è:
$y=-1/2x+2$
Infatti, se prendiamo i due punti per i quali abbiamo imposto il passaggio, ovvero (2,1) e (0,2), e li "sostituiamo nell'equazione" (ovvero ne sostituiamo ascissa e ordinata al posto di x e y rispettivamente) otteniamo
$1=-1/2 * 2+2$
$2 = -1/2 * 0+2$
e queste due cose sono vere. Quindi effettivamente tale retta passa per i punti (2,1) e (0,2).
Quando si parla di "retta" in genere ci si riferisce alle rette del tipo $y=mx+q$ (quindi con b non zero nella forma iniziale, che era ax+by+c=0).
Diciamo adesso che due rette sono "parallele" se hanno lo stesso coefficiente angolare m.
Per esempio le rette $y=2x$ e $y=2x-7$ sono parallele.
Anche le rette $4x-2y+1 = 0$ e $y=2x+1$ sono parallele (per accorgertene devi fare un paio di passaggi).
Ora, se hai due rette, per esempio
$y=x+1$
$y=-2x+3$
se non sono parallele (e questo è il caso perché i coefficienti angolari sono 1 e -2 e quindi sono tra loro diversi) si incontrano in un punto (come puoi immaginare). Cosa vuol dire "si incontrano in un punto" in termini matematici? Significa che esiste un punto $(x_0,y_0)$ che sostituito ad entrambe le equazioni produce una cosa vera (ovvero, tale punto appartiene ad entrambe le rette). Ovvero tale punto non è altro che la soluzione del sistema
$y=x+1$
$y=-2x+3$
Se lo risolvi trovi $x=2/3$ e $y=5/3$. Quindi il punto è $(2/3,5/3)$. Puoi fare la verifica sostituendo in entrambe le equazioni.
Diciamo che due rette
$y=m_1x+q_1$
$y=m_2x+q_2$
sono perpendicolari se si ha che $m_1*m_2=-1$. Per esempio le rette
$y=3x+2$
$y=-1/3x$
sono perpendicolari perché $3 * (-1/3) = -1$.
Poi si possono fare anche altre considerazioni: per esempio uno si puo' chiedere "in che punto la retta $y=mx+q$ interseca la retta $x=0$, ovvero l'asse y?". Per rispondere basta risolvere il sistema
$y=mx+q$
$x=0$
ottenendo come soluzione il punto $(0,q)$. Quindi q, in un certo senso, rappresenta la quota a cui avviene l'intersezione con l'asse y.
(Nota bene: la retta $x=0$ non è del tipo $y=mx+q$.)
Adesso proviamo a fare un passo avanti: nel tuo caso hai l'equazione
$y=ax+a-2$
Prima di tutto bisogna chiedersi cosa rappresentano le lettere. x e y sono le incognite, e a è un cosiddetto "parametro" (come lo erano prima m e q), ovvero una "indeterminata" a cui tu puoi dare un determinato valore per ottenere una retta. Per esempio se prendi a=1 ottieni la retta
$y=x+1-2=x-1$
che quindi ha m=1 e q=-1. Se prendi a=0 ottieni la retta
$y=-2$
che ha m=0 e q=-2. E via dicendo.
Quando come in questo caso hai un parametro che determina un intero insieme di rette, tale insieme si chiama fascio (di rette).
Ora tu potresti voler considerare tra tutte queste rette (ce n'è una per ogni valore assegnabile ad a!) quale sia / quali siano quella / quelle che passa / passano per il punto A = (-1,2). Sappiamo che cosa significa il passaggio per un punto: dobbiamo sostituire x=-1 e y=2 e ottenere una cosa vera. Otteniamo
$2=-a+a-2=-2$
Questa è una cosa falsa sempre ("sempre" significa "per ogni valore di a"). Quindi nessuna retta del fascio passa per A.
Se invece ci chiediamo quale/i retta/e del fascio passano per B = (3,0) otteniamo, sostituendo, che
$3a+a-2=0$
Questa relazione deve essere vera. Quindi dobbiamo risolverla in quanto equazione in a. Ovvero, dobbiamo trovare a affinché la relazione $3a+a-2=0$ sia vera. Troviamo $a=1/2$. Cio' significa esattamente che la retta del fascio che passa per B è quella che ha a=1/2, ovvero è la retta $y=1/2x+1/2-2 = 1/2x-3/2$ (che quindi ha $m=a=1/2$ e $q=-3/2$).
Vogliamo trovare adesso a affinché la retta $y=ax+a-2$ sia parallela all'asse x. L'asse x non è altro che la retta rappresentata dall'equazione $y=0$ (consiste cioè di tutti i punti di ordinata nulla!). Questa retta ha m=q=0, quindi in particolare ha coefficiente angolare nullo. Se una retta è parallela all'asse x deve pure lei avere coefficiente angolare nullo. Ora, il coefficiente angolare m della retta $y=ax+a-2$ è, come puoi vedere, m=a. Esso quindi dipende da a (essendo uguale ad a).
Se tu vuoi che sia nullo non devi far altro che scegliere a=0.
Se vuoi che sia parallela alla retta $y=-3x+1$ non devi far altro che eguagliare i coefficienti angolari ottenendo $a=-3$.
Se vuoi che sia perpendicolare alla retta $2x-y-1=0$ devi innanzitutto trovare il coefficiente angolare di questa retta, che sarà 2 (perché riscrivendola ottieni $y=2x-1$), e poi imporre (ricordando che m=a) che $a*2=-1$, ottenendo quindi $a=-1/2$. (ho usato la definizione di rette perpendicolari di prima).
Ora, il tuo punto 6 è più delicato. Richiede forse un'accortezza un po' maggiore: l'angolo formato con l'asse x è determinato dal coefficiente angolare (per convincersi di questo occorre un po' di studio) nel senso che: se il coefficiente angolare è positivo allora l'orientamento della retta sarà da sudovest a nordest - se è positivo e cresce allora cresce la pendenza della retta - se il coefficiente angolare è nullo la retta è orizzontale - se il coefficiente angolare è negativo allora la retta è orientata da nordovest a sudest. L'angolo formato con l'asse x è l'angolo formato con la parte dell'asse x con ascissa positiva.
Nota bene: le rette verticali non sono contemplate. Perché? Perché sono esattamente quelle che abbiamo escluso quando abbiamo assunto che $b \ne 0$ (ricordi all'inizio?). Per esse in genere occorre uno studio a parte.
Ricordi che l'asse y, cioè la retta $x=0$, non era del tipo $y=mx+q$? Questo lo puoi vedere graficamente constatando che l'asse y è verticale.
Ne segue che "formare un angolo ottuso con l'asse x" significa "avere coefficiente angolare negativo" (lo puoi vedere tramite un disegno). Quindi la soluzione è: $m<0$, ovvero poiché $m=a$, la soluzione è $a<0$. (se cio' non ti è del tutto chiaro, significa come dicevo che occorre un po' di studio
).
Ciao ciao.
Partiro' da lontano perché preferisco
- Feuerbach, mi scuso perché il mio post è lungo, ma non conosco il tuo livello di preparazione -
Tutti sappiamo cosa sia il piano cartesiano. Per farla breve, si tratta di un piano che consiste di punti, e ogni punto è rappresentato dalla sua ascissa e dalla sua ordinata, ovvero due numeri reali che ne determinano il primo la distanza "in orizzontale" e il secondo "in verticale" dall'origine (l'origine è quel punto che ha entrambe le coordinate nulle). Usualmente l'ascissa si chiama $x$ e l'ordinata $y$.
Per esempio sono punti $(5,9)$ (ascissa 5 e ordinata 9), $(0,3/4)$ (ascissa 0 e ordinata 3/4), $(-1,\pi)$ (ascissa -1 e ordinata $\pi$) e via dicendo.
Il punto (0,0) è privilegiato e come ho detto si chiama origine.
Ora, uno potrebbe farsi per esempio la seguente domanda:
"quali sono i punti del piano (x,y) tali che l'ordinata y è esattamente il doppio dell'ascissa x?"
Uno potrebbe attendersi che questi strani punti stiano uno a destra, uno a sinistra, uno sotto e uno sopra e gli altri chi lo sa.
Invece no: stanno tutti esattamente su una stessa "linea dritta", o retta, e tutti i punti di tale retta hanno l'ordinata doppia dell'ascissa.
Ora, se un punto (x,y) ha l'ordinata doppia dell'ascissa possiamo scrivere equivalentemente
y = ordinata = 2x = doppio dell'ascissa
Ecco che allora i punti che cerchiamo, quelli che hanno ordinata doppia dell'ascissa, sono rappresentati dall'equazione $y=2x$. Cosa significa "rappresentati"? Significa che tali punti sono del tipo (x,y) e soddisfano la condizione y=2x. Ovvero se prendi un tale punto e sostituisci l'ascissa a x e l'ordinata a y nell'equazione
$y=2x$
ottieni una cosa vera. I punti cercati non sono altro quindi che le (infinite) soluzioni dell'equazione $y=2x$.
Per esempio il punto (3,6) è uno di quelli che cerchiamo perché sostituendo x=3 e y=6 nell'equazione $y=2x$ otteniamo 6 = 2*3 e questo è vero. Se invece prendiamo (3,7) e proviamo a sostituire otteniamo 7 = 2*3 che invece è falso.
Chiamiamo "retta" l'insieme dei punti (x,y) che verificano l'equazione $y=2x$ e se un punto verifica tale equazione diciamo che il punto appartiene alla retta. Allora (3,6) appartiene alla retta, e (3,7) invece no. Nota bene: essa non è l'unica retta, ma è una retta.
Ora, passando alla teoria, mettiamo che tu abbia una equazione del tipo
$ax+by+c = 0$
dove x e y sono incognite e a,b,c sono termini a te noti (per esempio $2x-5y+3=0$ è un'equazione di quel tipo) ma chiamati a,b,c per restare nell'ambito più generale possibile.
Essa, se uno tra a e b non è zero, "rappresenta sempre una retta".
Per "rappresenta una retta" intendo che - scelti a,b,c, quindi scelta una retta - se prendi un punto di tale retta e sostituisci ascissa e ordinata rispettivamente ad x e y nell'equazione $ax+by+c = 0$ ottieni una cosa vera.
Per "sempre" intendo "per ogni valore di a,b,c" (in cui, come ho specificato, uno tra a e b non è zero).
Siccome voglio che uno tra a e b non sia zero (perché se sono entrambi zero ottieni 0*x+0*y+c=0 che non è più un'equazione interessante -ovvero ha "tutto" o "niente" come soluzione a seconda dell'annullarsi o meno di c - perché sono sparite le incognite) possiamo considerare per esempio il caso in cui b non sia zero, ovvero $b \ne 0$ (ovviamente cosi' facendo non stiamo rappresentando tutte le rette - quelle che hanno b=0 non le stiamo rappresentando - , ma è solo per chiarire le cose). Allora possiamo prendere l'equazione
$ax+by+c = 0$
e dividere entrambi i membri per b (NB: solo se b non è zero possiamo dividere per b) ottenendo la stessa equazione riscritta in un altro modo:
$a/bx+y+c/b=0$
Se ora noi portiamo $a/bx$ e $c/b$ a destra otteniamo la stessa equazione riscritta in un altro modo:
$y=-a/bx-c/b$
Adesso viene spontaneo chiamare $-a/b$ e $-c/b$ in altri modi. Usualmente $-a/b$ si chiama coefficiente angolare e si indica con m, e $-c/b$ si indica con q (non ha, che io sappia, un nome particolare). Perché questi nomi? Per avere due lettere, o "parametri", m e q, anziché tre, a,b,c. Ogni volta che si dà un valore a m ed un valore a q si ottiene una retta.
Per esempio con m=4 e q=-2 si ottiene la retta
$y=4x-2$
Il nostro caso di prima aveva m=2 e q=0:
$y=2x$
Una retta, se come ce la immaginiamo è una "linea dritta", deve essere determinata dal passaggio da due soli punti, ovvero per descriverla completamente basta imporre che due dati punti (diversi tra loro!) le appartengano. Allora per esempio mettiamo di voler trovare la retta che passa per (2,1) e per (0,2). Ce n'è solo una perché questi due punti sono distinti.
Come facciamo? Possiamo provare a vedere se l'equazione di questa retta è del tipo $y=mx+q$ (con "del tipo" intendo "per opportuni valori di m e q"). Il problema quindi è trovare tali m e q.
Ma in tal caso, come sappiamo, sostituendo ascissa e ordinata di tali punti in y=mx+q dobbiamo ottenere delle cose vere. Ovvero, dobbiamo sostituire x=2 e y=1 ottenendo
$1=2m+q$
e questa cosa deve essere vera. Poi dobbiamo sostituire x=0 e y=2 ottenendo
$2=q$
e questa cosa deve essere vera. Queste due ultime cose che ho scritto non sono altro che equazioni in m e q, ed entrambe devono essere verificate. In altre parole, hai un sistema di due equazioni nelle due incognite m e q (in questo sistema m e q sono incognite perché le dobbiamo trovare, in accordo al fatto che abbiamo vincolato la retta ad avere determinate proprietà - il passaggio per due punti).
Ma in questo caso il sistema è facile perché la seconda equazione dice subito che $q=2$, e sostituendo nella prima hai $1=2m+2$, ovvero $m=-1/2$. Quindi la retta che cerchiamo è quella del tipo
$y=mx+q$
in cui $m=-1/2$ e $q=2$. Ovvero è:
$y=-1/2x+2$
Infatti, se prendiamo i due punti per i quali abbiamo imposto il passaggio, ovvero (2,1) e (0,2), e li "sostituiamo nell'equazione" (ovvero ne sostituiamo ascissa e ordinata al posto di x e y rispettivamente) otteniamo
$1=-1/2 * 2+2$
$2 = -1/2 * 0+2$
e queste due cose sono vere. Quindi effettivamente tale retta passa per i punti (2,1) e (0,2).
Quando si parla di "retta" in genere ci si riferisce alle rette del tipo $y=mx+q$ (quindi con b non zero nella forma iniziale, che era ax+by+c=0).
Diciamo adesso che due rette sono "parallele" se hanno lo stesso coefficiente angolare m.
Per esempio le rette $y=2x$ e $y=2x-7$ sono parallele.
Anche le rette $4x-2y+1 = 0$ e $y=2x+1$ sono parallele (per accorgertene devi fare un paio di passaggi).
Ora, se hai due rette, per esempio
$y=x+1$
$y=-2x+3$
se non sono parallele (e questo è il caso perché i coefficienti angolari sono 1 e -2 e quindi sono tra loro diversi) si incontrano in un punto (come puoi immaginare). Cosa vuol dire "si incontrano in un punto" in termini matematici? Significa che esiste un punto $(x_0,y_0)$ che sostituito ad entrambe le equazioni produce una cosa vera (ovvero, tale punto appartiene ad entrambe le rette). Ovvero tale punto non è altro che la soluzione del sistema
$y=x+1$
$y=-2x+3$
Se lo risolvi trovi $x=2/3$ e $y=5/3$. Quindi il punto è $(2/3,5/3)$. Puoi fare la verifica sostituendo in entrambe le equazioni.
Diciamo che due rette
$y=m_1x+q_1$
$y=m_2x+q_2$
sono perpendicolari se si ha che $m_1*m_2=-1$. Per esempio le rette
$y=3x+2$
$y=-1/3x$
sono perpendicolari perché $3 * (-1/3) = -1$.
Poi si possono fare anche altre considerazioni: per esempio uno si puo' chiedere "in che punto la retta $y=mx+q$ interseca la retta $x=0$, ovvero l'asse y?". Per rispondere basta risolvere il sistema
$y=mx+q$
$x=0$
ottenendo come soluzione il punto $(0,q)$. Quindi q, in un certo senso, rappresenta la quota a cui avviene l'intersezione con l'asse y.
(Nota bene: la retta $x=0$ non è del tipo $y=mx+q$.)
Adesso proviamo a fare un passo avanti: nel tuo caso hai l'equazione
$y=ax+a-2$
Prima di tutto bisogna chiedersi cosa rappresentano le lettere. x e y sono le incognite, e a è un cosiddetto "parametro" (come lo erano prima m e q), ovvero una "indeterminata" a cui tu puoi dare un determinato valore per ottenere una retta. Per esempio se prendi a=1 ottieni la retta
$y=x+1-2=x-1$
che quindi ha m=1 e q=-1. Se prendi a=0 ottieni la retta
$y=-2$
che ha m=0 e q=-2. E via dicendo.
Quando come in questo caso hai un parametro che determina un intero insieme di rette, tale insieme si chiama fascio (di rette).
Ora tu potresti voler considerare tra tutte queste rette (ce n'è una per ogni valore assegnabile ad a!) quale sia / quali siano quella / quelle che passa / passano per il punto A = (-1,2). Sappiamo che cosa significa il passaggio per un punto: dobbiamo sostituire x=-1 e y=2 e ottenere una cosa vera. Otteniamo
$2=-a+a-2=-2$
Questa è una cosa falsa sempre ("sempre" significa "per ogni valore di a"). Quindi nessuna retta del fascio passa per A.
Se invece ci chiediamo quale/i retta/e del fascio passano per B = (3,0) otteniamo, sostituendo, che
$3a+a-2=0$
Questa relazione deve essere vera. Quindi dobbiamo risolverla in quanto equazione in a. Ovvero, dobbiamo trovare a affinché la relazione $3a+a-2=0$ sia vera. Troviamo $a=1/2$. Cio' significa esattamente che la retta del fascio che passa per B è quella che ha a=1/2, ovvero è la retta $y=1/2x+1/2-2 = 1/2x-3/2$ (che quindi ha $m=a=1/2$ e $q=-3/2$).
Vogliamo trovare adesso a affinché la retta $y=ax+a-2$ sia parallela all'asse x. L'asse x non è altro che la retta rappresentata dall'equazione $y=0$ (consiste cioè di tutti i punti di ordinata nulla!). Questa retta ha m=q=0, quindi in particolare ha coefficiente angolare nullo. Se una retta è parallela all'asse x deve pure lei avere coefficiente angolare nullo. Ora, il coefficiente angolare m della retta $y=ax+a-2$ è, come puoi vedere, m=a. Esso quindi dipende da a (essendo uguale ad a).
Se tu vuoi che sia nullo non devi far altro che scegliere a=0.
Se vuoi che sia parallela alla retta $y=-3x+1$ non devi far altro che eguagliare i coefficienti angolari ottenendo $a=-3$.
Se vuoi che sia perpendicolare alla retta $2x-y-1=0$ devi innanzitutto trovare il coefficiente angolare di questa retta, che sarà 2 (perché riscrivendola ottieni $y=2x-1$), e poi imporre (ricordando che m=a) che $a*2=-1$, ottenendo quindi $a=-1/2$. (ho usato la definizione di rette perpendicolari di prima).
Ora, il tuo punto 6 è più delicato. Richiede forse un'accortezza un po' maggiore: l'angolo formato con l'asse x è determinato dal coefficiente angolare (per convincersi di questo occorre un po' di studio) nel senso che: se il coefficiente angolare è positivo allora l'orientamento della retta sarà da sudovest a nordest - se è positivo e cresce allora cresce la pendenza della retta - se il coefficiente angolare è nullo la retta è orizzontale - se il coefficiente angolare è negativo allora la retta è orientata da nordovest a sudest. L'angolo formato con l'asse x è l'angolo formato con la parte dell'asse x con ascissa positiva.
Nota bene: le rette verticali non sono contemplate. Perché? Perché sono esattamente quelle che abbiamo escluso quando abbiamo assunto che $b \ne 0$ (ricordi all'inizio?). Per esse in genere occorre uno studio a parte.
Ricordi che l'asse y, cioè la retta $x=0$, non era del tipo $y=mx+q$? Questo lo puoi vedere graficamente constatando che l'asse y è verticale.
Ne segue che "formare un angolo ottuso con l'asse x" significa "avere coefficiente angolare negativo" (lo puoi vedere tramite un disegno). Quindi la soluzione è: $m<0$, ovvero poiché $m=a$, la soluzione è $a<0$. (se cio' non ti è del tutto chiaro, significa come dicevo che occorre un po' di studio
).Ciao ciao.
"Feuerbach":
Dapprima ha scritto la seguente, classica formula: $ax + by + c = 0$.
Poi ha scritto $y = mx + q$. Questa formula, se non ricordo male, serve per ricavare la $y$ qualora noi fossimo a conoscenza del coefficiente angolare $m$, e dell'incognita $x$. $q$ non so cosa sia..
la $q$ è una variabile che non influisce sulla pendenza della retta, ma che ne indica la sua posizione nel piano.
hai bisogno anche di sapere la $q$ per trovare la $y$ tramite questa formula ($y = mx + q$).
"Feuerbach":
Ha definito $y$ variabile dipendente e $x$ variabile indipendente; spero di non sbagliarmi, possibilmente è il contrario.
Poi ha scritto: $m = -a/b$. Ciò dovrebbe significare che il coefficiente angolare, che sarebbe la pendenza della retta, si potrebbe ricavare dal rapporto di $-a$ con $b$.
questa si può dimostrare facilmente:
prendi l'equazione$ax + by + c = 0$
e prova a portarla in una forma del tipo$y=mx+q$
$ax + by + c = 0$
$(a/b)x+y+(c/b)=0$ dividendo per $b$
$y=-(a/b)x-(c/b)$
quindi $m=-(a/b)$ e $q=-(c/b)$
EDIT: Martino mi ha preceduto
"Feuerbach":
Scusate, ho riletto nuovamente con più attenzione.
Adesso ho capito.
Non mi era chiara la formula $m = (y - y_1)/(y_2 - y_1) = (x - x_1)/(x_2 - x_1)$..
$(y - y_1)/(y_2 - y_1) = (x - x_1)/(x_2 - x_1)$ questa è la condizione di allineamento di tre punti, quindi serve per trovare l'equazione di una retta passante per due punti
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