Equazione della parabola (200959)

[saverio.morelli96]

"Determina l'equazione della parabola avente il vertice nell'origine degli assi cartesiani e passante per P(2;1"
non riesco proprio a capire i passaggi di questo tipo di equazioni

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Data una generica parabola con asse parallelo a quello delle ordinate:

[math]y = a\,x^2 + b\,x + c[/math]

(con

[math]a \ne 0[/math]

), a noi interessa quella avente
vertice

[math]\left(-\frac{b}{2a}, \, -\frac{b^2 - 4\,a\,c}{4\,a}\right) = (0,\,0)[/math]

e passante per il punto

[math]\left(x_p, \; a\,x_p^2 + b\,x_p + c\right) = (2,\,1)[/math]

. Per ottenere i valori di a, b, c
che soddisfano tali requisiti occorre risolvere il seguente sistema di
tre equazioni in tre incognite:

[math]\begin{cases} - \frac{b}{2\,a} = 0 \\ - \frac{b^2 - 4\,a\,c}{4\,a} = 0 \\ a\,2^2 + b\,2 + c = 1 \end{cases} \; \Rightarrow \; \begin{cases} a = \frac{1}{4} \\ b = 0 \\ c = 0 \end{cases}[/math]

.
In conclusione, la parabola cercata ha equazione cartesiana

[math]y = \frac{1}{4}x^2[/math]

. :)