Equazione da studiare
Dopo un'intera estate in cui non ho toccato i libri, ritorno a studiare. Scusatemi se quello che sto per chiedervi è MOLTO semplice, ma sono parecchio arrugginito.
Non ho capito dei passaggi della risoluzione di questa equazione da studiare. La traccia è questa:
"Dato il polinomio $P(x)=x^2+ax+b$, determinare il segno del polinomio al variare di $a$ e $b$ sapendo che $P(1)=0$".
Sono arrivato al punto in cui, dopo un sistema di equazioni, esce la soluzione $x_2=-1-a=b$. Poi dovrei discutere il segno di $b$, ma non riesco a capire come. Mi date una mano?
Grazie
Non ho capito dei passaggi della risoluzione di questa equazione da studiare. La traccia è questa:
"Dato il polinomio $P(x)=x^2+ax+b$, determinare il segno del polinomio al variare di $a$ e $b$ sapendo che $P(1)=0$".
Sono arrivato al punto in cui, dopo un sistema di equazioni, esce la soluzione $x_2=-1-a=b$. Poi dovrei discutere il segno di $b$, ma non riesco a capire come. Mi date una mano?
Grazie
Risposte
E' chiesto di studiare il segno del polinomio.
Imponendo il passaggio per $ ( 1,0)$ ottieni la relazione tra i coefficienti $ a+b+1=0 $ e , ad esempio $ b= -a-1 $.
Adesso riscrivo il polinomio così $ x^2 +ax-(a+1) $ ; di questo polinomio( trinomio) va discusso il segno.
Il coefficiente del termine di secondo grado è positivo .
Il coeff del termine di primo grado... dipende dal valore di $a $ così come quello del termine noto.Regola di Cartesio
Prima ancora vaa considerato quando le radici dell'equazione $P(x) = 0 $ sono reali etc..
Imponendo il passaggio per $ ( 1,0)$ ottieni la relazione tra i coefficienti $ a+b+1=0 $ e , ad esempio $ b= -a-1 $.
Adesso riscrivo il polinomio così $ x^2 +ax-(a+1) $ ; di questo polinomio( trinomio) va discusso il segno.
Il coefficiente del termine di secondo grado è positivo .
Il coeff del termine di primo grado... dipende dal valore di $a $ così come quello del termine noto.Regola di Cartesio
Prima ancora vaa considerato quando le radici dell'equazione $P(x) = 0 $ sono reali etc..
Perdona la mia ignoranza, infatti credo di non aver mai studiato esplicitamente la regola di Cartesio negli anni passati, ma credo che il mio libro la desse per scontata senza dimostrarla.
Da quel che ho capito (correggimi se sbaglio) la regola di Cartesio anticipa se le radici sono negative o positive. Quando c'è permanenza di segno tra un coefficiente e l'altro la radice è negativa, è positiva invece quando avviene il contrario.
In questo caso, come si applica tale regola se l'incognita è sia nel secondo che nel terzo coefficiente?
Inoltre, non si dovrebbe comunque presupporre che le radici siano sempre reali?
Grazie
Da quel che ho capito (correggimi se sbaglio) la regola di Cartesio anticipa se le radici sono negative o positive. Quando c'è permanenza di segno tra un coefficiente e l'altro la radice è negativa, è positiva invece quando avviene il contrario.
In questo caso, come si applica tale regola se l'incognita è sia nel secondo che nel terzo coefficiente?
Inoltre, non si dovrebbe comunque presupporre che le radici siano sempre reali?
Grazie
Primissima cosa studia per quali valori di $ a $ il delta è positivo e quindi le radici reali .
"Camillo":
Primissima cosa studia per quali valori di $ a $ il delta è positivo e quindi le radici reali .
Ma non è $P(1)=0$ ?
Quindi basta fare la divisione polinomiale, così si ottiene anche l'altra radice..
Poi è chiaro che il Delta è $\ge 0$, no?!
Francesco Daddi
Stavo per scriverlo !!
La'ltra soluzione è $ -a-1 $ e poi considera quando le due soluzioni coincidono e quando una è maggiore dell'altra e viceversa e studi facilemnte il segno del trinomio.
La'ltra soluzione è $ -a-1 $ e poi considera quando le due soluzioni coincidono e quando una è maggiore dell'altra e viceversa e studi facilemnte il segno del trinomio.
"Camillo":
Stavo per scriverlo !!
La'ltra soluzione è $ -a-1 $ e poi considera quando le due soluzioni coincidono e quando una è maggiore dell'altra e viceversa e studi facilemnte il segno del trinomio.
Noto che il segmento $OP$, dove $P$ è il punto di intersezione della parabola con l'asse delle ordinate
ha la stessa lunghezza del segmento $OQ$, dove $Q$ è l'altra intersezione della parabola con l'asse
delle ascisse.
Anzi, possiamo prendere questa osservazione come una definizione:
"Consideriamo tutte le parabole che hanno ampiezza pari a 1, passino dal punto $1;0$
e siano tali che il segmento $OP$ abbia la stessa lunghezza del segmento $OQ$."
Francesco Daddi
"franced":
[quote="Camillo"]Stavo per scriverlo !!
La'ltra soluzione è $ -a-1 $ e poi considera quando le due soluzioni coincidono e quando una è maggiore dell'altra e viceversa e studi facilemnte il segno del trinomio.
Noto che il segmento $OP$, dove $P$ è il punto di intersezione della parabola con l'asse delle ordinate
ha la stessa lunghezza del segmento $OQ$, dove $Q$ è l'altra intersezione della parabola con l'asse
delle ascisse.
Anzi, possiamo prendere questa osservazione come una definizione:
"Consideriamo tutte le parabole che hanno ampiezza pari a 1, passino dal punto $1;0$
e siano tali che il segmento $OP$ abbia la stessa lunghezza del segmento $OQ$."
Francesco Daddi[/quote]
La specifica dell'ampiezza uguale a 1 è necessaria perché altrimenti avremmo una situazione del tipo:
$y = k (x-1) (x-h)$
$y(0) = k (-1) (-h) = k*h$
Se voglio che i segmenti abbiano la stessa lunghezza devo imporre le condizioni:
$k*h = h$ da cui $k=1$
$k*h = -h$ da cui $k=-1$
Forse si può "risparmiare" qualcosa nella definzione, dicendo che vogliamo parabole con
la concavità rivolta verso l'alto, cosa che poi si traduce, inevitabilmente, nella condizione
di avere ampiezza pari a 1.
Francesco Daddi
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo