Equazione cos2x

[Martismo30]

Per quali x è verificata la seguente equazione?
Cos(2x)= 2cos(pi/4 + x) × cos(pi/4-x)
Per arrivare alla soluzione dovrei usare la formula cos2x=cos^2 x-sen^2 x? O dovrei usare un altro modo? Grazie in anticipo

[StellaMartensitica]

Questa è un identità, ovverosia è verificata per ogni $x in RR$


Infatti:

$2*cos(pi/4+x)*cos(pi/4-x)=2*cos((pi/2+2x)/2)*cos((pi/2-2x)/2)=$


A questo punto usi la formula di prostaferesi che ti dice:

$cos(p)+cos(q)=2*cos((p+q)/2)*cos((p-q)/2)$

E la usi al contrario:

$2*cos((p+q)/2)*cos((p-q)/2)=cos(p)+cos(q)$

In questo caso hai:

$p=pi/2$

$q=2x$
onde:
$2*cos(pi/4+x)*cos(pi/4-x)=2*cos((pi/2+2x)/2)*cos((pi/2-2x)/2)=cos(pi/2)+cos(2x)=$

Sai che

$cos(pi/2)=0$

e quindi:

$cos(2x)=cos(2x)$

che è sempre vero. Ciaoooo

[ot]Oppure puoi sviluppare $cos(pi/4+x)=cos(x)/sqrt(2)-sin(x)/sqrt(2)$ ecc ecc. ma tanto è la stessa cosa.[/ot]