Equazione con valore assoluto (domanda)
[Ho compreso come inserire le formulee correggo]
Ciao
Ho una domanda semplice su cui non riesco da solo a sbrogliarmi
$|A(x)|=B(x)$
So che si risolve impostando i sistemi
$A(x)>=0$
$A(x)=B(x)$
e
$A(x)<0$
$-A(x)=B(x)$
Il mio dubbio però è che non capisco perché se vado a studiare il modulo con a secondomembro una costante es. $|A(x)|=K$ allora studio solo $A(x)=k$ or $A(x)=-k$
effettivamente noto con prove e riprove che dividere in due sistemi è sempre superfluo in tal caso, cioè non ha senso studiare prima $A(x)>=0$ e poi $A(x)<0$ perché sono sempre verificate le condizioni e le $A(x)>=0$ e poi $A(x)<0$ non fanno escludere valori come accade se studio $B(x)$ anzichè una costante k. Ma perché questo sia sempre vero con una costante k non mi è chiaro.
Ringrazio per gli aiuti
Ciao
Ho una domanda semplice su cui non riesco da solo a sbrogliarmi
$|A(x)|=B(x)$
So che si risolve impostando i sistemi
$A(x)>=0$
$A(x)=B(x)$
e
$A(x)<0$
$-A(x)=B(x)$
Il mio dubbio però è che non capisco perché se vado a studiare il modulo con a secondomembro una costante es. $|A(x)|=K$ allora studio solo $A(x)=k$ or $A(x)=-k$
effettivamente noto con prove e riprove che dividere in due sistemi è sempre superfluo in tal caso, cioè non ha senso studiare prima $A(x)>=0$ e poi $A(x)<0$ perché sono sempre verificate le condizioni e le $A(x)>=0$ e poi $A(x)<0$ non fanno escludere valori come accade se studio $B(x)$ anzichè una costante k. Ma perché questo sia sempre vero con una costante k non mi è chiaro.
Ringrazio per gli aiuti
Risposte
Se avessi un sistema di disequazioni
$\{(x>=0),(x>k):}$ con $k>=0$
ti rendi conto che il sistema è inutile, perché le soluzioni della seconda disequazione soddisfano anche la prima, quindi il sistema si ridurrebbe a $x>k$
$|A(x)|>k$ con $k>=0$, per la regola che definisce i valori assoluti, diventa
$\{(A(x)>=0),(A(x)>k):}$ e $\{(A(x)<0),(-A(x)>k):}$
Il primo sistema è verificato, immediatamente, per $A(x)>k$, mentre il secondo sistema va un po' modificato e diventa
$\{(A(x)<0),(A(x)< -k):}$ e, scritto così, si vede subito che la soluzione è $A(x)< -k$
Da tutto ciò si deduce che i due sistemi sono inutili perché bastano le due disequazioni $A(x)< -k uu A(x)>k$ che ne sono le soluzioni
$\{(x>=0),(x>k):}$ con $k>=0$
ti rendi conto che il sistema è inutile, perché le soluzioni della seconda disequazione soddisfano anche la prima, quindi il sistema si ridurrebbe a $x>k$
$|A(x)|>k$ con $k>=0$, per la regola che definisce i valori assoluti, diventa
$\{(A(x)>=0),(A(x)>k):}$ e $\{(A(x)<0),(-A(x)>k):}$
Il primo sistema è verificato, immediatamente, per $A(x)>k$, mentre il secondo sistema va un po' modificato e diventa
$\{(A(x)<0),(A(x)< -k):}$ e, scritto così, si vede subito che la soluzione è $A(x)< -k$
Da tutto ciò si deduce che i due sistemi sono inutili perché bastano le due disequazioni $A(x)< -k uu A(x)>k$ che ne sono le soluzioni
Grazie mille, mi è chiaro il ragionamento ora:)
potrei chiederti ancora una cosa abbastanza banale? Riguarda le disequazioni irrazionali. Ho un dubbio riguardo il perché della condizione di concordanza segni. Mi spiego meglio:
Ricordo che la regola "di concordanza" così detta viene in essere quando studiamo le equazioni irrazionali. E semplicemente serve per garantire che quadrando per togliere la radice e risolvere l'equazione non vada ad aggiungere soluzioni e questo mi è piuttosto chiaro.
Però nel caso delle disequazioni...
$sqrt(f(x)) > g(x)$ ha le stesse soluzioni dei sistemi:
$\{(f(x) >= 0, ), (g(x) < 0, ):} vv \{(f(x) >=0, ), (g(x) >=0, ), (f(x) > g^2(x), ):}$.
Tuttavia quando compio questo studio non valuto mai la possibilità di introdurre soluzioni quadrando: $f(x) > g^2(x)$ (cosa che invece faccio quando studio $ f(x) = g^2(x)$ qui mi pongo il problema "morale"
)
E perché mai cio? Mi sfugge
potrei chiederti ancora una cosa abbastanza banale? Riguarda le disequazioni irrazionali. Ho un dubbio riguardo il perché della condizione di concordanza segni. Mi spiego meglio:
Ricordo che la regola "di concordanza" così detta viene in essere quando studiamo le equazioni irrazionali. E semplicemente serve per garantire che quadrando per togliere la radice e risolvere l'equazione non vada ad aggiungere soluzioni e questo mi è piuttosto chiaro.
Però nel caso delle disequazioni...
$sqrt(f(x)) > g(x)$ ha le stesse soluzioni dei sistemi:
$\{(f(x) >= 0, ), (g(x) < 0, ):} vv \{(f(x) >=0, ), (g(x) >=0, ), (f(x) > g^2(x), ):}$.
Tuttavia quando compio questo studio non valuto mai la possibilità di introdurre soluzioni quadrando: $f(x) > g^2(x)$ (cosa che invece faccio quando studio $ f(x) = g^2(x)$ qui mi pongo il problema "morale"
)E perché mai cio? Mi sfugge
Ho capito il problema con le disequazioni e le equazioni irrazionali.
Se nel risolvere l'equazione $ sqrt(f(x)) = g(x) $, prima di elevare al quadrato, ponessi le condizioni
non avresti alcun problema di verifica delle soluzioni. Solo che, di solito, la verifica delle soluzioni è più facile della soluzione di due disequazioni. Addirittura potresti evitare la prima disequazione perché se $f(x) = g^2(x)$ è chiaro che $f(x) >=0$.
Quindi il "problema morale" si pone solo se non hai messo la condizione di concordanza dei segni.
Non so se mi sono spiegata.
Se nel risolvere l'equazione $ sqrt(f(x)) = g(x) $, prima di elevare al quadrato, ponessi le condizioni
$ \{(f(x) >=0, ), (g(x) >=0, ), (f(x) = g^2(x), ):} $
non avresti alcun problema di verifica delle soluzioni. Solo che, di solito, la verifica delle soluzioni è più facile della soluzione di due disequazioni. Addirittura potresti evitare la prima disequazione perché se $f(x) = g^2(x)$ è chiaro che $f(x) >=0$.
Quindi il "problema morale" si pone solo se non hai messo la condizione di concordanza dei segni.
Non so se mi sono spiegata.
Devi scusarmi ma temo di non aver capito appieno la spiegazione 
, o forse ho spiegato male il dubbio.
Per le equazioni mi è chiaro che scriviamo
$ \{(f(x) >=0, ), (g(x) >=0, ), (f(x) = g^2(x), ):} $
ove $g(x) >=0$ mi garantisce che elevando al quadrato non vada ad introdurre soluzioni. Infatti due numeri con stesso quadrato possono essere identici od opposti. la concordanza impone che abbiano segno uguale poiché la radice è positiva e garantisco che g(x) lo sia anche lui.
Tuttavia quando studio le disequazioni non mi pongo questo problema, è come se sapessi già che pur andando a quadrare $f(x) > g^2(x)$ non vado ad aggiungere alcuna soluzione infatti quando redigo
$\{(f(x) >= 0, ), (g(x) < 0, ):} vv \{(f(x) >=0, ), (g(x) >=0, ), (f(x) > g^2(x), ):}$.
nessuna delle disequazioni in essere origina dal pormi il dubbio se quadrando aumento soluzioni.
Non so se è più chiaro
Ops, grazie ho corretto il lapsus. E' solo che stavo anche ragionando su un altro dubbio su numeri razionali e ho fatto un typo.
, o forse ho spiegato male il dubbio.Per le equazioni mi è chiaro che scriviamo
$ \{(f(x) >=0, ), (g(x) >=0, ), (f(x) = g^2(x), ):} $
ove $g(x) >=0$ mi garantisce che elevando al quadrato non vada ad introdurre soluzioni. Infatti due numeri con stesso quadrato possono essere identici od opposti. la concordanza impone che abbiano segno uguale poiché la radice è positiva e garantisco che g(x) lo sia anche lui.
Tuttavia quando studio le disequazioni non mi pongo questo problema, è come se sapessi già che pur andando a quadrare $f(x) > g^2(x)$ non vado ad aggiungere alcuna soluzione infatti quando redigo
$\{(f(x) >= 0, ), (g(x) < 0, ):} vv \{(f(x) >=0, ), (g(x) >=0, ), (f(x) > g^2(x), ):}$.
nessuna delle disequazioni in essere origina dal pormi il dubbio se quadrando aumento soluzioni.
Non so se è più chiaro
Ops, grazie ho corretto il lapsus. E' solo che stavo anche ragionando su un altro dubbio su numeri razionali e ho fatto un typo.
Scusami ma nel secondo sistema, quello dove "quadri", poni $g(x)>=0$, quindi quale sarebbe il problema?
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