Equazione con valore assoluto
Non riesco a capire questa equazione con valore assoluto:
$ |x - 2| = |x| $
Bisogna studiare i segni di |x - 2| e |x|
Quindi:
$ |x - 2| $ -> $ x -2 >= 0 $ quindi $ x >= 2 $ ; $ x - 2 < 0 $ quindi $ x < 2 $
$ |x| $ -> $ x >= 0 $ ;$ x < 0 $
Quindi si mettono sul grafico i termini prodotti dallo studio dei segni:
.............................................0..........................................2
x >= 2 e x < 2 - - - - - - - - - - -|- - - - - - - - - - - - - - - - - -|--------------------------
x >= 0 e x < 0 - - - - - - - - - - -|------------------------------|--------------------------
Ora devo vedere dove i termini sono negativi (blu) e dove sono positivi (rosso) giusto?
Quindi nel primo intervallo sono tutti e due negativi, nel secondo la prima è negativa e la seconda positiva, e nel terzo tutti e due positivi...però non devo fare come nelle disequazioni dove devo prendere le soluzioni in comuni....
Quando nel grafico è positivo, il modulo sarà x - 2 e x (cioè rimangono invariati) e invece quando sono negativi diventano - x + 2 e -x (cioè cambiano segno), quindi le equazioni diventeranno:
a) $-x + 2 = -x $ ---> $ -x +x + 2 = 0 $ ---> $ 2 = 0 $ quindi viene zero o impossibile? comunque soluzione non accettabile
b) $-x + 2 = x $ ---> $ -x -x + 2 = 0 $ ---> $ -2x + 2 = 0 $ ---> $ 2x - 2 = 0 $ -> $ 2x = 2$ ---> $ x = 2/2 = 1 $ mi sembra l'unica soluzione accettabile
c) $x + 2 = x $ ---> $ x - x + 2 = 0 $ ---> $-2 = 0 $ come nella a)
E' giusto così? anche se come spiegazione è molto terra terra
non riesco comunque a capire le soluzioni di a) e c) ci devo solo scrivere impossibili?
$ |x - 2| = |x| $
Bisogna studiare i segni di |x - 2| e |x|
Quindi:
$ |x - 2| $ -> $ x -2 >= 0 $ quindi $ x >= 2 $ ; $ x - 2 < 0 $ quindi $ x < 2 $
$ |x| $ -> $ x >= 0 $ ;$ x < 0 $
Quindi si mettono sul grafico i termini prodotti dallo studio dei segni:
.............................................0..........................................2
x >= 2 e x < 2 - - - - - - - - - - -|- - - - - - - - - - - - - - - - - -|--------------------------
x >= 0 e x < 0 - - - - - - - - - - -|------------------------------|--------------------------
Ora devo vedere dove i termini sono negativi (blu) e dove sono positivi (rosso) giusto?
Quindi nel primo intervallo sono tutti e due negativi, nel secondo la prima è negativa e la seconda positiva, e nel terzo tutti e due positivi...però non devo fare come nelle disequazioni dove devo prendere le soluzioni in comuni....
Quando nel grafico è positivo, il modulo sarà x - 2 e x (cioè rimangono invariati) e invece quando sono negativi diventano - x + 2 e -x (cioè cambiano segno), quindi le equazioni diventeranno:
a) $-x + 2 = -x $ ---> $ -x +x + 2 = 0 $ ---> $ 2 = 0 $ quindi viene zero o impossibile? comunque soluzione non accettabile
b) $-x + 2 = x $ ---> $ -x -x + 2 = 0 $ ---> $ -2x + 2 = 0 $ ---> $ 2x - 2 = 0 $ -> $ 2x = 2$ ---> $ x = 2/2 = 1 $ mi sembra l'unica soluzione accettabile
c) $x + 2 = x $ ---> $ x - x + 2 = 0 $ ---> $-2 = 0 $ come nella a)
E' giusto così? anche se come spiegazione è molto terra terra
non riesco comunque a capire le soluzioni di a) e c) ci devo solo scrivere impossibili?
Risposte
la prima e l'ultima sono impossibili (2 non è certamente = 0!)
il resto mi sembra giusto, anche se le condizioni giuste sono:
$|x-2|=x-2 se x-2>=0 -> x>=2$ ; $|x-2|=-x+2 se x-2<0 -> x<2$
stessa cosa per l'altra condizione
il resto mi sembra giusto, anche se le condizioni giuste sono:
$|x-2|=x-2 se x-2>=0 -> x>=2$ ; $|x-2|=-x+2 se x-2<0 -> x<2$
stessa cosa per l'altra condizione
Ok grazie della risposta...ora ho un dubbio però in quelle di secondo grado, come questa per esempio: |x² - 4| = 5
Studiando i segni viene:
1) |x² - 4| = se x² - 4 ≥ 0 diventa x ±2 e visto che il segno è maggiore o uguali gli intervalli sono esterni: x ≤ - 2 v x ≥ 2
2) |x² - 4| = se x² - 4 < 0 diventa x ±2 e visto che il segno è minore o uguali gli intervalli sono interni: -2 < x < 2
Mettendo -2 e 2 come punti e facendo il grafico con gli intervalli positivi e negativi delle due espressioni, esce fuori che il primo intervallo è positivo per tutte e due le espressioni, il secondo è negativo per la 1) e positivo per la 2) e il terzo di nuovo positivo per tutte e due le espressioni.
Ora però non so quale intervello prendere in considerazione per trovare la soluzione.. :\\
Studiando i segni viene:
1) |x² - 4| = se x² - 4 ≥ 0 diventa x ±2 e visto che il segno è maggiore o uguali gli intervalli sono esterni: x ≤ - 2 v x ≥ 2
2) |x² - 4| = se x² - 4 < 0 diventa x ±2 e visto che il segno è minore o uguali gli intervalli sono interni: -2 < x < 2
Mettendo -2 e 2 come punti e facendo il grafico con gli intervalli positivi e negativi delle due espressioni, esce fuori che il primo intervallo è positivo per tutte e due le espressioni, il secondo è negativo per la 1) e positivo per la 2) e il terzo di nuovo positivo per tutte e due le espressioni.
Ora però non so quale intervello prendere in considerazione per trovare la soluzione.. :\\
in quel tipo di equazione, quando cioè fuori del valore assoluto hai solo un numero, non hai bisogno di mettere le condizioni, in quanto sai già se l'uguaglianza è possibile oppure no (ad esempio, se al posto di 5 avessi avuto -5, avresti dovuto scrivere subito che l'equazione era impossibile), quindi puoi passare subito a considerare i due casi col segno opposto:
$x^2-4 = +-5$ e risolvere separatamente le due equazioni
P.S. anche il caso precedente si sarebbe potuto risolvere molto più semplicemente considerando solo le due possibilità:$x-2 = +-x$ , in quanto anche in questo caso le due possibilità che hai sono : o che le due espressioni abbiano lo stesso segno, o che abbiano segno opposto
$x^2-4 = +-5$ e risolvere separatamente le due equazioni
P.S. anche il caso precedente si sarebbe potuto risolvere molto più semplicemente considerando solo le due possibilità:$x-2 = +-x$ , in quanto anche in questo caso le due possibilità che hai sono : o che le due espressioni abbiano lo stesso segno, o che abbiano segno opposto
uhm non ho bene capito la risposta...non dovrebbe venire ± 3?
questa soluzione riesco a trovarla facendo x² - 4 = 5 e quindi x² = 9 x = ±3 S. accettabile
l'altra soluzione che mi viene è x² = -1 S. non accettabile ma non capisco perchè... -1 non è compreso tra -2 < x < 2 ?
questa soluzione riesco a trovarla facendo x² - 4 = 5 e quindi x² = 9 x = ±3 S. accettabile
l'altra soluzione che mi viene è x² = -1 S. non accettabile ma non capisco perchè... -1 non è compreso tra -2 < x < 2 ?
"esmeralda881":
uhm non ho bene capito la risposta...non dovrebbe venire ± 3?
questa soluzione riesco a trovarla facendo x² - 4 = 5 e quindi x² = 9 x = ±3 S. accettabile
l'altra soluzione che mi viene è x² = -1 S. non accettabile ma non capisco perchè... -1 non è compreso tra -2 < x < 2 ?
la prima parte va bene, in quanto tu risolvi l'equazione prendendo il +5
che $x^2=-1$ non sia accettabile è ovvio : come può un numero elevato al quadrato essere negativo? (un quadrato infatti è sempre positivo)
Ah ok capito grazie 
Ehm se invece ci sono 3 moduli devo comunque studiarli tutti? cioè mettere sempre se è maggiore o uguale ecc?
Esempio: | x | + |x - 2| = |x + 3|
$| x | = x $ se $x >= 0$ ; $ -x $ se $ x < 0$
$|x - 2| = x - 2 $ se $ x -2 >= 0 $ -> $ x >= 2$ ; $ - x + 2$ se $ x - 2 < 0$ -> $ x < 2$
$|x + 3| = x + 3$ se $x + 3 >= 0$ -> $x >= -3$ ; $ - x - 3 $ se $ x + 3 < 0$ -> $ x < -3$
A me vengono 3 intervalli, cioè sul grafico metto - 3; 0 e +2 come punti, e poi a seconda se sono minori metto il tratteggio quindi negativo, e se sono maggiori o uguali metto la linea continua positiva.
Il libro invece dice che si ottengono 4 intervalli o_O
Ma per ogni modulo devo fare sia negativo che positivo? per tutti e 3 i moduli? :\\\
Esempio: | x | + |x - 2| = |x + 3|
$| x | = x $ se $x >= 0$ ; $ -x $ se $ x < 0$
$|x - 2| = x - 2 $ se $ x -2 >= 0 $ -> $ x >= 2$ ; $ - x + 2$ se $ x - 2 < 0$ -> $ x < 2$
$|x + 3| = x + 3$ se $x + 3 >= 0$ -> $x >= -3$ ; $ - x - 3 $ se $ x + 3 < 0$ -> $ x < -3$
A me vengono 3 intervalli, cioè sul grafico metto - 3; 0 e +2 come punti, e poi a seconda se sono minori metto il tratteggio quindi negativo, e se sono maggiori o uguali metto la linea continua positiva.
Il libro invece dice che si ottengono 4 intervalli o_O
Ma per ogni modulo devo fare sia negativo che positivo? per tutti e 3 i moduli? :\\\
eh sì, per tutti i moduli che compaiono.
Se si ottengono 4 intervalli vorrà dire che alcuni punti sono in comune credo
Se si ottengono 4 intervalli vorrà dire che alcuni punti sono in comune credo
Gli intervalli sono 4
I) $x<-3$;
II) $-3<=x<0$;
III) $0<=x<2$;
IV) $x>=2$
I) $x<-3$;
II) $-3<=x<0$;
III) $0<=x<2$;
IV) $x>=2$
Grazie delle risposte, alla fine ci sono riuscita ad arrivare alla soluzione, io seguivo il libro che fa tutto un procedimento strano....quando poi con pochi passaggi si riesce a risolvere senza incasinarsi........
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