Equazione con tre radicali cubici. Dubbio sulla teoria

[silente1]

In questo tipo di equazioni non ho capito la ragione per la quale l’equazione ottenuta per sostituzione non è equivalente a quella di partenza SOLO nel caso in cui questa sia impossibile.
Riporto il procedimento generale di soluzione per questo tipo di equazioni

(1) $root(3)(A)+ root(3)(B)=root(3)(C)$
Sia $S_1$ l’insieme delle soluzioni della (1)

Elevando alla terza potenza si ottiene l’equazione

(2) $A+B+3root(3)(AB)(root(3)(A)+root(3)(B))=C$
Per la quale l’insieme delle soluzioni è ancora $S_1$

A questo punto, per gli $x$ $inS_1$ la (1) e la (2) sono vere e, di conseguenza, è vera

(3) $A+B+3root(3)(AB)(root(3)(ABC))=C

Ottenuta sostituendo la (1) nella (2)

Se $S_2$ è l’insieme delle soluzione della (3) risulta così dimostrato che

$S_1subeS_2$

Questo consente già, in pratica, di individuare le soluzioni della (1) accettando, tra quelle della (3), le sole che rendono vera la (1). Fino a qui nessun problema.
A questo punto però mi resta un dubbio sulla teoria. Se non ho frainteso mi si dice che la verifica delle soluzioni è necessaria poiché la (1) potrebbe essere impossibile.
Mi sfugge.
Non ho capito in che modo, supposta la (1) vera per qualche $x$, si possa dimostrare che la (3) è equivalente alla (1). Insomma non mi riesce dedurre (né intuire) che $S_2subeS_1$


Grazie

[giammaria2]

Suppongo che la (3) dovesse essere
(3) $A+B+3 \root(3)(ABC)=C$
E' stata ricavata partendo dalla (1), quindi se è vera la (1) è vera anche la (3) e ne consegue il tuo $S_1subeS_2$ (che ritroveremo anche dopo). Le due equazioni sono equivalenti se è possibile anche il cammino inverso, cioè se posso ottenere la (1) partendo dalla (3). Per farlo, pongo $a=root(3)A, b=root(3)B, c=root(3)C$ e la (3) diventa
$c^3-3abc-(a^3+b^3)=0$
Con la regola di Ruffini e il suggerimento dato dalla (1) la scompongo in
$[c-(a+b)][c^2+c(a+b)+(a^2-ab+b^2)]=0$
La legge di annullamento del prodotto mi dice ora che ci sono le soluzioni della (1) ma anche altre, derivanti dalla seconda parentesi: le due equazioni non sono equivalenti ed occorre la verifica.

Il problema si pone anche con due sole radici cubiche: se ho $root(3)A=root(3)B$ ed elevo al cubo ottengo (con la notazione precedente) $a^3=b^3$, cioè $(a-b)(a^2-ab+b^2)=0$. Anche qui si introducono altre soluzioni, che in questo caso non sono reali; forse però possono esserlo con tre radici.

[silente1]

"giammaria":Suppongo che la (3) dovesse essere
(3) $A+B+3 \root(3)(ABC)=C$

Ho editato

"giammaria":
Con la regola di Ruffini e il suggerimento dato dalla (1) la scompongo in
$[c-(a+b)][c^2+c(a+b)+(a^2-ab+b^2)]=0$
La legge di annullamento del prodotto mi dice ora che ci sono le soluzioni della (1) ma anche altre, derivanti dalla seconda parentesi: le due equazioni non sono equivalenti ed occorre la verifica.

Quindi, se non sbaglio, o $[c^2+c(a+b)+(a^2-ab+b^2)]=0$ non ha soluzioni reali o quello che mi dice il libro (o almeno quello che ho inteso) è falso.

Grazie Gianmaria, molto chiaro.