Equazione con radici razionali
provare che se $m,n$ sono interi dispari l'equazione $x^2+mx+n=0$ non ha radici razionali..
Risposte
Soluzione 1
Data l'equazione $x^2+mx+n=0$ con $m,n$ interi dispari, le sue radici sono $x_{1,2} = \frac{-m+-\sqrt{m^2-4n}}{2}$. Le predette radici sono razionali se, e solo se, il discriminante $\Delta=m^2-4n$ è un quadrato perfetto.
Dunque, per assurdo, si assuma che le radici dell'equazione assegnata sono razionali: $\Delta$ è un quadrato perfetto. Se così è, allora esiste un intero $a$ tale per cui $(2a+1)^2=\Delta=m^2-4n$: infatti, essendo $m,n$ dispari, allora $m^2-4n$ è dispari.
Sviluppando la precedente uguaglianza e operando gli opportuni spostamenti da un membro all'altro, si ha:
$(2a+1)^2=m^2-4n => 4a^2+4a+1=m^2 - 4n => 4a^2+4a+4n=m^2 - 1 => 4(a^2+a+n)=(m-1)(m+1) => 4[a(a+1) + n]=(m-1)(m+1)$
L'ultima uguaglianza è palesemente impossibile: uno tra $a$ ed $a+1$ è certamente pari, ed essendo $n$ dispari, la parentesi quadra del LHS è dispari, dunque il LHS è divisibile per $4$ ma non per $8$; al contrario, il RHS è il prodotto di due numeri pari consecutivi, essendo $m$ dispari per ipotesi, dunque è certamente divisibile per $8$. Di quì l'assurdo e, finalmente, la tesi.
Data l'equazione $x^2+mx+n=0$ con $m,n$ interi dispari, le sue radici sono $x_{1,2} = \frac{-m+-\sqrt{m^2-4n}}{2}$. Le predette radici sono razionali se, e solo se, il discriminante $\Delta=m^2-4n$ è un quadrato perfetto.
Dunque, per assurdo, si assuma che le radici dell'equazione assegnata sono razionali: $\Delta$ è un quadrato perfetto. Se così è, allora esiste un intero $a$ tale per cui $(2a+1)^2=\Delta=m^2-4n$: infatti, essendo $m,n$ dispari, allora $m^2-4n$ è dispari.
Sviluppando la precedente uguaglianza e operando gli opportuni spostamenti da un membro all'altro, si ha:
$(2a+1)^2=m^2-4n => 4a^2+4a+1=m^2 - 4n => 4a^2+4a+4n=m^2 - 1 => 4(a^2+a+n)=(m-1)(m+1) => 4[a(a+1) + n]=(m-1)(m+1)$
L'ultima uguaglianza è palesemente impossibile: uno tra $a$ ed $a+1$ è certamente pari, ed essendo $n$ dispari, la parentesi quadra del LHS è dispari, dunque il LHS è divisibile per $4$ ma non per $8$; al contrario, il RHS è il prodotto di due numeri pari consecutivi, essendo $m$ dispari per ipotesi, dunque è certamente divisibile per $8$. Di quì l'assurdo e, finalmente, la tesi.
Soluzione 2
Data l'equazione $x^2 + mx + n=0$ con $m,n$ interi dispari, si assuma, per assurdo, che esiste almeno una radice razionale: sia questa $x=\frac{a}{b}$ con $gcd(a,b)=1$.
Se $x=\frac{a}{b}$ è una radice dell'equazione assegnata, allora si ha che $\frac{a^2}{b^2} + \frac{a}{b}m + \n =0 => a^2 + abm + b^2n=0$.
E' chiaro ed evidente che, essendo $gcd(a,b)=1$, $a$ e $b$ non possono essere entrambi pari, quindi o sono uno pari e l'altro dispari oppure sono entrambi dispari. Se sono entrambi dispari non può aversi l'uguaglianza con $0$ che è pari, poiché $a^2$ è dispari, $b^2$ è dispari e tale è anche $b^2n$, $abm$ è anche è dispari e, dunque, la somma di tre numeri dispari è ancora dispari, mentre $0$ è pari.
Se invece uno (tra $a$ e $b$) è pari e l'altro è dispari, due dei tre termini del LHS della precedente uguaglianza sono sicuramente pari mentre il terzo è dispari: dunque, la loro somma è dispari e, nuovamente, non può essere $0$.
Data l'equazione $x^2 + mx + n=0$ con $m,n$ interi dispari, si assuma, per assurdo, che esiste almeno una radice razionale: sia questa $x=\frac{a}{b}$ con $gcd(a,b)=1$.
Se $x=\frac{a}{b}$ è una radice dell'equazione assegnata, allora si ha che $\frac{a^2}{b^2} + \frac{a}{b}m + \n =0 => a^2 + abm + b^2n=0$.
E' chiaro ed evidente che, essendo $gcd(a,b)=1$, $a$ e $b$ non possono essere entrambi pari, quindi o sono uno pari e l'altro dispari oppure sono entrambi dispari. Se sono entrambi dispari non può aversi l'uguaglianza con $0$ che è pari, poiché $a^2$ è dispari, $b^2$ è dispari e tale è anche $b^2n$, $abm$ è anche è dispari e, dunque, la somma di tre numeri dispari è ancora dispari, mentre $0$ è pari.
Se invece uno (tra $a$ e $b$) è pari e l'altro è dispari, due dei tre termini del LHS della precedente uguaglianza sono sicuramente pari mentre il terzo è dispari: dunque, la loro somma è dispari e, nuovamente, non può essere $0$.
Soluzione 3
$x^2+mx+n=0$ con $m=2k+1$ e $n=2h+1$
Con la condizione
$Delta=a^2$ con $ainNN$
ho
$m^2-4n=a^2$
ovvero
$4k^2+4k+1-8h-4=a^2$
$4k^2+4k-8k-3=a^2$
da cui, riducendo modulo $4$
$-3\equiva^2 \mod4$, assurdo.
$x^2+mx+n=0$ con $m=2k+1$ e $n=2h+1$
Con la condizione
$Delta=a^2$ con $ainNN$
ho
$m^2-4n=a^2$
ovvero
$4k^2+4k+1-8h-4=a^2$
$4k^2+4k-8k-3=a^2$
da cui, riducendo modulo $4$
$-3\equiva^2 \mod4$, assurdo.
"Steven":
Soluzione 3
$x^2+mx+n=0$ con $m=2k+1$ e $n=2h+1$
Con la condizione
$Delta=a^2$ con $ainNN$
ho
$m^2-4n=a^2$
ovvero
$4k^2+4k+1-8h-4=a^2$
$4k^2+4k-8k-3=a^2$
da cui, riducendo modulo $4$
$-3\equiva^2 \mod4$, assurdo.
Non conosco niente dei moduli, però credo che l'assurdo non ci sia. Se non sbaglio la scrittura $-3 \equiv a^2 mod4$ significa che $-3$ e $a^2$ danno lo stesso resto nella divisione per $4$: se così è, beh, è vero. $-3$ nella divisione per $4$ da quoziente $-1$ resto $1$; $a^2$ nella divisione per $4$ da resto $1$, poiché un quadrato nella divisione per $4$ da resto $0$ oppure $1$ a seconda che è il quadrato di un numero dispari o di un numero pari, ed essendo $a$ dispari, il resto di $a^2$ nella divisione per $4$ è proprio 1.
Probabile però che non abbia capito i moduli: mi puoi spiegare dove sbaglio?
WiZaRd hai ragione; credo che Steven avesse in mente la riduzione modulo $8$.
Probabile però che non abbia capito i moduli: mi puoi spiegare dove sbaglio?
Non ti spiego nulla, hai ragione. Ho preso un granchio
Allora termino così, volendo sempre usare i moduli
$4k^2+4k-8h-3=a^2$
Modulo $8$ :
$a^2\equiv -3\equiv5 (mod8)$
assurdo.
"Martino":
WiZaRd hai ragione; credo che Steven avesse in mente la riduzione modulo $8$.
No no, avevo in mente proprio il modulo 4.
Temo mi sia lasciato andare a causa del -3, visto che con 3 avrebbe funzionato (ho insomma ignorato il segno meno).
Ciao, grazie a Wizard per la correzione.
OK. Thanks.
"WiZaRd":
Soluzione 2
Data l'equazione $x^2 + mx + n=0$ con $m,n$ interi dispari, si assuma, per assurdo, che esiste almeno una radice razionale: sia questa $x=\frac{a}{b}$ con $gcd(a,b)=1$.
Se $x=\frac{a}{b}$ è una radice dell'equazione assegnata, allora si ha che $\frac{a^2}{b^2} + \frac{a}{b}m + \n =0 => a^2 + abm + b^2n=0$.
E' chiaro ed evidente che, essendo $gcd(a,b)=1$, $a$ e $b$ non possono essere entrambi pari, quindi o sono uno pari e l'altro dispari oppure sono entrambi dispari. Se sono entrambi dispari non può aversi l'uguaglianza con $0$ che è pari, poiché $a^2$ è dispari, $b^2$ è dispari e tale è anche $b^2n$, $abm$ è anche è dispari e, dunque, la somma di tre numeri dispari è ancora dispari, mentre $0$ è pari.
Se invece uno (tra $a$ e $b$) è pari e l'altro è dispari, due dei tre termini del LHS della precedente uguaglianza sono sicuramente pari mentre il terzo è dispari: dunque, la loro somma è dispari e, nuovamente, non può essere $0$.
ragazzi è piuttosto chiaro il tutto(tranne che per i moduli che mi andrò a studiare)..volevo solo un paio di chiarimenti su alcuni passaggi..
in particola per cosa sta $gcd$?? e perchè ipotizzi come radice $a/b$??
e per ultima cosa perchè $a$ e $b$ non sono pari tra loro??..grazie in anticipo per i chiarimenti..ciao
GCD è la versione inglese di MCD, ossia massimo comun divisore (GCD=Greatest Common Divisor). Se supponi per assurdo che la radice sia razionale deve essere scritta come $a/b$ in cui a e b sono coprimi (ossia hanno mcd 1, ossia non possono essere eventualmente ridotti a un numero intero). a e b non sono entrambi pari perché se lo fossero si avrebbe MCD$>=2$ e non sarebbero quindi coprimi.
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