Equazione con radici cubiche

[Sk_Anonymous]

Ho provato a risolvere quest'equazione:
$root(3)(x-1)-root(3)(x+1)=root(3)((x-1)/(x+1))$
$x-1-3(x-1)sqrt(x-1)+3(x+1)sqrt(x+1)-(x+1)=(x-1)/(x+1)$
$-2-3(x-1)sqrt(x-1)+3(x+1)sqrt(x+1)=(x-1)/(x+1)$
$-2+(-3x+3)sqrt(x-1)+(3x+3)sqrt(x+1)=(x-1)/(x+1)$
Ma da questo punto in poi non so come continuare. Cosa faccio?

[minomic]

Secondo me hai sbagliato ad applicare la formula del cubo di binomio: \[(A+B)^3 = A^3 + B^3 + 3A^2 B + 3A B^2\] In particolare non mi tornano i tripli prodotti.

[Zero87]

Moltiplicherei ambo i membri per il termine
$\root(3)((x-1)^2)+\root(3)((x-1)(x+1))+\root(3)((x+1)^2)$,
sfruttando il prodotto notevole
$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$.

Ho corretto un errore segnalato da giammaria.

[Sk_Anonymous]

Zero87, non ho capito dove. Nella prima espressione o nell'ultima applico il prodotto notevole?

[giammaria2]

sleax, sei sicuro che l'equazione sia proprio quella?
Io ho fatto la sostituzione $u=root(3)(x+1)->x=u^3-1$
con la quale l'equazione diventa
$root(3)(u^3-2)-u=root(3)(u^3-2)/u$

$uroot(3)(u^3-2)-u^2=root(3)(u^3-2)$

$(u-1)root(3)(u^3-2)=u^2$

ed elevando al cubo dopo qualche calcolo trovo
$3u^5-3u^4+3u^3-6u^2+6u-2=0$
che non saprei scomporre in fattori; Ruffini non funziona.

[Zero87]

"sleax":Zero87, non ho capito dove. Nella prima espressione o nell'ultima applico il prodotto notevole?

Ho fatto un erroraccio - segnalato da giammaria (2 post sotto a questo) - e comunque non credo che porti a molto ripensandoci su.

[Sk_Anonymous]

Si, è proprio quella l'equazione.

[giammaria2]

@Zero87.
Guarda che ti confondi: il primo membro diventerebbe $-2$ solo se tu moltiplicassi per
$root(3)((x-1)^2)+root(3)((x-1)(x+1))+root(3)((x+1)^2)$

@sleax.
E allora non credo sia possibile risolverla con metodi elementari.

Considerazioni generali, in campo reale.
L'equazione che ho ottenuto è di grado dispari, quindi c'è almeno una soluzione per $u$, cui corrisponde una soluzione per $x$. Il primo membro dell'equazione è certamente negativo, quindi deve esserlo anche il secondo e ne consegue $-1

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