Equazione con 4 soluzioni distinte.

[TheBarbarios]

Ciao a tutti, ecco il problema che mi sta facendo scervellare.

Trova l'intervallo di valori di $m$ tale che l'equazione $|x^2 -3x +2| = mx$ abbia 4 soluzioni reali distinte.

Discutendo il valore assoluto ho trovato che:

\( \left | x^2-3x+2 \right | = \bigg \{\begin{array}{rl}
x^2-3x+2 & x\leq 1 \ \ \vee \ x\geq 2 \\
-x^2+3x-2 & 1 \end{array} \)

Poi ponendo il discriminante maggiore di 0 per entrambe le equazioni e usando la relazione iniziale ho trovato che per il primo caso $ m< -3 -2\sqrt{2} \vee m> -3 +2\sqrt{2}$

Mentre per il secondo ho $ m< 3 -2\sqrt{2} \vee m> 3 +2\sqrt{2}$



A questo punto ho pensato di mettere in un castello tutte le condizioni della m e trovare le intersezioni e poi al massimo vedere se sono definite in base al valore di x. Purtroppo però il risultato del libro è $0< m < 3 - 2\sqrt{2}$ e non capisco nè perchè parta da zero, nè perchè consideri quell'intervallo di m.
Sullo 0, ho pensato che magari visto che il primo membro dell'equazione è sempre positivo, allora deve esserlo anche il secondo. Ma a quel punto basterebbe prendere due valori negativi che diano segno positivo per il fattore $mx$ quindi non serve che sia per forza maggiore di zero la m. Qualche suggerrimento e/o correzione da fare?

[giammaria2]

Direi che il metodo più rapido è quello grafico, consistente nell'imporre che ci siano 4 intersezioni fra la retta $y=mx$ e la curva $y=|x^2-3x+2|$.
Disegni quindi quella curva: nell'intervallo $(1,2)$ è un arco della parabola $y=-x^2+3x-2$, mentre altrove è data dai due archi (arrivanti all'infinito) di $y=x^2-3x+2$. E' ora ben visibile che le intersezioni sono 4 se la retta è compresa fra l'asse x e la tangente alla prima parabola citata; calcoli quindi la $m$ di questa tangente e trovi le due soluzioni $m=3+-2sqrt2$: scegli quella col meno perché il grafico stesso ci dice che deve valere meno di 1.

Col tuo metodo hai imposto che le soluzioni siano reali ma non che stiano nell'intervallo richiesto; in particolare, le intersezioni con la prima parabola possono essere fuori dall'intervallo $(1,2)$. Dovresti quindi imporre ulteriori condizioni ma mi sembra abbastanza lungo.

[TheBarbarios]

"giammaria":E' ora ben visibile che le intersezioni sono 4 se la retta è compresa fra l'asse x e la tangente alla prima parabola citata; calcoli quindi la $m$ di questa tangente e trovi le due soluzioni $m=3+-2sqrt2$: scegli quella col meno perché il grafico stesso ci dice che deve valere meno di 1.

Ok mi piace l'approccio. Non so che procedimento avevi in mente tu ma io ho provato cercando la tangente alla funzione $f(x)= -x^2+3x -2 $ passante per l'origine ed in effetti mi è venuto l' m della retta $m= 3 - 2\sqrt{2}$ senza dover porre condizioni assurde. Grazie dell'aiuto. Piu che altro, nel caso fosse stato un grafico piu' complicato, che non si riesce a scrivere intuitivamente, come avrei potuto fare?

[TheBarbarios]

Il secondo punto del problema mi dice:

Dette $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ le quattro soluzioni, esprimi in termini di m $s(m)= 1/ \alpha^2 + 1/ \beta^2 + 1/ \gamma^2 + 1/ \delta^2$

Hai qualche suggerimento?

[TheBarbarios]

Niente ce l'ho fatta trovando che

$ S(m)= \frac{5+m^2}{2}$

[giammaria2]

Non so che procedimento avevi in mente tu ma io ho provato cercando la tangente alla funzione $f(x)= -x^2+3x -2 $ passante per l'origine ed in effetti mi è venuto l' m della retta $m= 3 - 2\sqrt{2}$ senza dover porre condizioni assurde. Grazie dell'aiuto.

Anche io ho fatto così.

Più che altro, nel caso fosse stato un grafico più' complicato, che non si riesce a scrivere intuitivamente, come avrei potuto fare?

Anche con grafici più complicati si può fare uno studio di funzione ed usare il mio metodo. Se ancora non conosci gli studi di funzione, va bene anche il tuo procedimento; devi però imporre che le soluzioni siano reali e stiano nell'intervallo voluto. Nel tuo caso conviene lasciare per ultima l'incognita $y$ perché è data da un valore assoluto e quindi basta imporre che sia non-negativa.
Chiarisco quanto detto chiedendomi quando sono accettabili le intersezioni con la prima parabola, cioè quelle date dal sistema
${(y=mx),(y=-x^2+3x-2):}$
Trattando a parte il caso $m=0$ (lo includo però nella soluzione finale), con pochi passaggi ne ricavo
${(x=y/m),(y^2+my(m-3)+2m^2=0):}$
Le soluzioni devono essere reali ($Delta>=0$) e positive; applico la regola di Cartesio (il coefficiente dell'addendo centrale deve essere negativo perché gli altri due sono positivi) ed ottengo
${(m^2(m-3)^2-8m^2>=0),(m(m-3)<0):}=>...=>0<=m<=3-2sqrt2$

Concludo con un consiglio: se ogni volta citi un intero messaggio, il tutto è inutilmente appesantito. Meglio cancellare le frasi non necessarie.

[TheBarbarios]

"giammaria":
Anche con grafici più complicati si può fare uno studio di funzione ed usare il mio metodo. Se ancora non conosci gli studi di funzione, va bene anche il tuo procedimento;

Si conosco gli studi di funzione solo che questi sono esercizi propedeutici ad un test composto da 5 di essi e visto che si ha solo 60 minuti a disposizione, non c'è materialmente il tempo per fare degli studi di funzione.

${(m^2(m-3)^2-8m^2>=0),(m(m-3)<0):}=>...=>0<=m<=3-2sqrt2$

Non ho capito il perché della seconda riga.

Concludo con un consiglio: se ogni volta citi un intero messaggio, il tutto è inutilmente appesantito. Meglio cancellare le frasi non necessarie.

Hai ragione, pardon.

[giammaria2]

Vogliamo che l'equazione
$y^2+my(m-3)+2m^2=0$
abbia due soluzioni positive e la regola di Cartesio dice che ci sono tante soluzioni positive quante le variazioni. Nel nostro caso il primo coefficiente è $1$ e l'ultimo è $2m^2$, entrambi positivi; per avere due variazioni occorre e basta che sia negativo il coefficiente centrale, che è $m(m-3)$

[TheBarbarios]

"giammaria":Vogliamo che l'equazione
$y^2+my(m-3)+2m^2=0$
abbia due soluzioni positive e la regola di Cartesio dice che ci sono tante soluzioni positive quante le variazioni. Nel nostro caso il primo coefficiente è $1$ e l'ultimo è $2m^2$, entrambi positivi; per avere due variazioni occorre e basta che sia negativo il coefficiente centrale, che è $m(m-3)$

Bella la regola di Cartesio, non la conoscevo. Comunque, la seconda condizione mi dice che $ 0

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[giammaria2]

"TheBarbarios":Bella la regola di Cartesio, non la conoscevo.

Strano, perché è molto nota. A scanso di applicazioni indebite, preciso che vale solo per le equazioni di secondo grado con soluzioni reali.
Giusto il resto.