Equazione cartesiana del piano
Ciao a tutti!
Ho appena incominciato l'argomento della geometria analitica dello spazio.
Non ho capito un paio di cose:
Ad esempio se io ho una retta nello spazio (sotto la forma parametrica) e un punto (x,y,z) come riesco a trovare l'equazione cartesiana del piano che contiene la retta e il punto?
Volevo poi chiedere: se ho un'equazione di un piano, ad esempio $3x-5y+z-9=0$ il vettore normale è quello con le componenti x=3, y=-5, z=1?
Grazie mille!
Spero che piano piano riesca a capire meglio l'argomento.
Ho appena incominciato l'argomento della geometria analitica dello spazio.
Non ho capito un paio di cose:
Ad esempio se io ho una retta nello spazio (sotto la forma parametrica) e un punto (x,y,z) come riesco a trovare l'equazione cartesiana del piano che contiene la retta e il punto?
Volevo poi chiedere: se ho un'equazione di un piano, ad esempio $3x-5y+z-9=0$ il vettore normale è quello con le componenti x=3, y=-5, z=1?
Grazie mille!
Spero che piano piano riesca a capire meglio l'argomento.
Risposte
Per il primo punto: facci vedere qualche tentativo!
Per il secondo: la risposta è "sì", ma ora tu dicci "perché".
Per il secondo: la risposta è "sì", ma ora tu dicci "perché".
Se ho capito bene:
ad esempio ho la retta
$\{(x=1-t),(y=2t),(z=3t):}$
e il punto A(2,3,-1)
trovo il vettore $vec (AP)$ (il punto P ce l'ho dalla retta e vale P(1,0,0))
Il vettore $vec {AP}$ è uguale a $(-1,-3,1)$ e poi faccio il prodotto vettoriale $((-1),(2),(3))X ((-1),(-3),(1))$ e trovo il vettore direzionale del piano, inserisco nell'euqazione cartesiana del piano generale, e poi inserendo il punto A trovo la componente d.
Così è come ho fatto io, è giusto fare cosî?
Per il secondo punto:credo sia così perchè il vettore normale esce perpendicolarmente dal piano e quindi il prodotto scalare tra il vettore normale(che parte da un punto A sul piano) e un vettore direzionale (che va da A ad un altro punto sul piano) è uguale a zero.
ad esempio ho la retta
$\{(x=1-t),(y=2t),(z=3t):}$
e il punto A(2,3,-1)
trovo il vettore $vec (AP)$ (il punto P ce l'ho dalla retta e vale P(1,0,0))
Il vettore $vec {AP}$ è uguale a $(-1,-3,1)$ e poi faccio il prodotto vettoriale $((-1),(2),(3))X ((-1),(-3),(1))$ e trovo il vettore direzionale del piano, inserisco nell'euqazione cartesiana del piano generale, e poi inserendo il punto A trovo la componente d.
Così è come ho fatto io, è giusto fare cosî?
Per il secondo punto:credo sia così perchè il vettore normale esce perpendicolarmente dal piano e quindi il prodotto scalare tra il vettore normale(che parte da un punto A sul piano) e un vettore direzionale (che va da A ad un altro punto sul piano) è uguale a zero.
Per il primo punto: se riesci senza tirare in ballo il prodotto vettore è molto meglio.
Inoltre, perché fai il prodotto tra quei due vettori? E comunque, un piano è identificato da due vettori direzionali, non uno solo!
Per risolvere, ad esempio, una volta che hai un vettore della retta \(\mathbb{v}_1\) che puoi ottenere prendendo due punti qualunque della retta, ad esempio \((1,0,0)^T\) e \((0,2,3)^T\) che danno \(\mathbb{v}_1=(-1,2,3)^T\) e un vettore \(\mathbb{v}_2\) che unisce un punto della retta al punto \(A\), il piano generato sarà \(p: t \mathbb{v}_1 + u \mathbb{v}_2\). Da qui portarlo in forma cartesiana è facile.
Per il secondo punto: è giusto il fatto che c'entri il prodotto scalare, ma vai a rivedere bene la spiegazione!
Inoltre, perché fai il prodotto tra quei due vettori? E comunque, un piano è identificato da due vettori direzionali, non uno solo!
Per risolvere, ad esempio, una volta che hai un vettore della retta \(\mathbb{v}_1\) che puoi ottenere prendendo due punti qualunque della retta, ad esempio \((1,0,0)^T\) e \((0,2,3)^T\) che danno \(\mathbb{v}_1=(-1,2,3)^T\) e un vettore \(\mathbb{v}_2\) che unisce un punto della retta al punto \(A\), il piano generato sarà \(p: t \mathbb{v}_1 + u \mathbb{v}_2\). Da qui portarlo in forma cartesiana è facile.
Per il secondo punto: è giusto il fatto che c'entri il prodotto scalare, ma vai a rivedere bene la spiegazione!
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