Equazione arco di parabola
Buonasera a tutti; svolgendo degli esercizi di ripasso sulle parabole mi sono bloccato nel seguente.
Data l'equazione di una parabola $ \gamma: y=2x^2-4x-6$, ed una retta generica $r$ uscente dall'origine che incontra $\gamma$ in due punti $P_1$ e $P_2$, verificare che il luogo descritto dal punto medio $P$ del segmento $P_1 P_2$, al variare di $r$ attorno all'origine è un arco di parabola.
Io ho pensato di procedere così:
prima di tutto metto a sistema l'equazione della parabola e quella della retta generica passante per l'origine
$ {(y=2x^2-4x-6),(y=mx):}$
dal quale ricavo i due punti $P_1$ e $P_2$ in funzione di $m$, più precisamente $P_1=((\frac{m+4+ \sqrt(\Delta)}{4}),(m\frac{m+4+ \sqrt(\Delta)}{4}))$ e $P_2=((\frac{m+4- \sqrt(\Delta)}{4}),(m\frac{m+4- \sqrt(\Delta)}{4}))$, dove $\Delta=m^2+8m+64$ è sempre positivo.
Da queste possiamo facilmente ricavare l'equazione del punto medio $P$ che sarà uguale a $P=((\frac{m+4}{4}),(m\frac{m+4}{4}))$.
Qui mi blocco e non riesco ad andare avanti, a quanto ho capito dall'esercizio la retta $r$ ruota attorno all'origine, quindi al variare del coefficiente angolare $m$, il punto $P$ descrive un arco di parabola; come posso dimostrarlo?
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto!
Data l'equazione di una parabola $ \gamma: y=2x^2-4x-6$, ed una retta generica $r$ uscente dall'origine che incontra $\gamma$ in due punti $P_1$ e $P_2$, verificare che il luogo descritto dal punto medio $P$ del segmento $P_1 P_2$, al variare di $r$ attorno all'origine è un arco di parabola.
Io ho pensato di procedere così:
prima di tutto metto a sistema l'equazione della parabola e quella della retta generica passante per l'origine
$ {(y=2x^2-4x-6),(y=mx):}$
dal quale ricavo i due punti $P_1$ e $P_2$ in funzione di $m$, più precisamente $P_1=((\frac{m+4+ \sqrt(\Delta)}{4}),(m\frac{m+4+ \sqrt(\Delta)}{4}))$ e $P_2=((\frac{m+4- \sqrt(\Delta)}{4}),(m\frac{m+4- \sqrt(\Delta)}{4}))$, dove $\Delta=m^2+8m+64$ è sempre positivo.
Da queste possiamo facilmente ricavare l'equazione del punto medio $P$ che sarà uguale a $P=((\frac{m+4}{4}),(m\frac{m+4}{4}))$.
Qui mi blocco e non riesco ad andare avanti, a quanto ho capito dall'esercizio la retta $r$ ruota attorno all'origine, quindi al variare del coefficiente angolare $m$, il punto $P$ descrive un arco di parabola; come posso dimostrarlo?
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto!
Risposte
Ciao 
Per determinarne l'equazione del luogo descritto dai punti $P(h(m);g(m))$ al variare di $m$ si procede in questo modo.
Devi scrivere le equazioni parametriche del luogo ovvero
$ { ( x=h(m) ),( y=g(m) ):} $
Questo sistema chiaramente non può essere risolto in quanto hai solo due equazioni e tre incognite. Puoi però scrivere $y$ in funzione della $x$ isolando la $m$ nella prima e sostituendola nella seconda. Ottieni in questo modo $y=f(x)$ che sarà il luogo cercato.
Per determinarne l'equazione del luogo descritto dai punti $P(h(m);g(m))$ al variare di $m$ si procede in questo modo.
Devi scrivere le equazioni parametriche del luogo ovvero
$ { ( x=h(m) ),( y=g(m) ):} $
Questo sistema chiaramente non può essere risolto in quanto hai solo due equazioni e tre incognite. Puoi però scrivere $y$ in funzione della $x$ isolando la $m$ nella prima e sostituendola nella seconda. Ottieni in questo modo $y=f(x)$ che sarà il luogo cercato.
Grazie mille per il suggerimento!!
Mi ero completamente incastrato e non avevo idea di come uscirne!
Grazie per l'aiuto e per il tuo tempo!
Buona serata
Mi ero completamente incastrato e non avevo idea di come uscirne!
Grazie per l'aiuto e per il tuo tempo!
Buona serata
Figurati 
Fammi sapere se riesci a risolvere completamente l'esercizio.
Fammi sapere se riesci a risolvere completamente l'esercizio.
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