Equazione

[Robin2]

Salve a tutti.

Avrei bisogno di un aiuto su una semplice equazione:

sqrt2 senx + sqrt2 cosx = 2

Qual'è la soluzione .

Grazie.

[fireball1]

sqrt(2)•sen x + sqrt(2)•cos x = 2
sqrt(2)•(sen x + cos x) = 2
Dividendo per sqrt(2):
sen x + cos x = sqrt(2)
Si ha il seguente sistema:
{sen x + cos x = sqrt(2)
{sen²x + cos²x = 1
Dalla prima equazione:

{ sen x = sqrt(2) - cos x
{ [sqrt(2) - cos x]² + cos²x = 1

Continuando con la seconda:

2 + cos²x - 2•sqrt(2)•cos x + cos²x = 1

2 cos² x - 2•sqrt(2)•cos x + 1 = 0

cos x = [ sqrt(2)sqrt(2-2) ] / 2 = sqrt(2)/2

Riprendendo la prima:

{sen x = sqrt(2) - sqrt(2)/2 = sqrt(2)/2
{cos x = sqrt(2)/2

L'unica soluzione è allora: x = /4 + 2k

[Principe2]

propongo una soluzione più veloce, ma concettualmente più complicata.

dividendo per sqrt(2) si ha:

sinx + cosx = sqrt(2)

da cui si vede subito che una sol è pi/4 + kpi; per verificare che è l'unica, basta osservare che essa individua due intersezioni con la circonferenza goniometrica, Poichè una retta non può intersecare in più di due punti una circonferenza, allora è sicuramente l'unica.

ciao, ubermensch

[fireball1]

Non sono d'accordo, uber. La soluzione non è x = /4 + k, bensì x = /4 + 2k
con k intero positivo, nullo o negativo.

Inoltre la tua osservazione sul metodo grafico andrebbe modificata così:

sin x + cos x = sqrt(2) (cioè x + y = sqrt(2) ) è una retta tangente alla circonferenza,
goniometrica, di equazione x² + y² = 1 (cioè sin²x + cos²x = 1), e per questo la soluzione è unica.

Modificato da - fireball il 13/04/2004 13:50:39

[Principe2]

hai ragione! mi sono lasciato ingannare dagli angoli in cui seno e coseno assumono gli stessi valori