Eq simmetrica
ciao,
non riscro a risolvere quest'eq simmetrica:
$2+sqr(3) +4(senxcosx-senx-cosx)=0$
I risultati sono:
x= 30+k360, x=60+k360, x=108...+k360, x=-18...+k360
grazie
non riscro a risolvere quest'eq simmetrica:
$2+sqr(3) +4(senxcosx-senx-cosx)=0$
I risultati sono:
x= 30+k360, x=60+k360, x=108...+k360, x=-18...+k360
grazie
Risposte
$2 + sqrt(3) + 4*senx*cosx - 4*senx - 4*cosx = 0$
prova a sostituire $senx$ e $cosx$ con le formule parametriche:
$2 + sqrt(3) + (8*t*(1-t^2))/((1+t^2)^2) - (8*t)/(1+t^2) - (4*(1-t^2))/(1+t^2) = 0$
m.c.m.
$(2 + sqrt(3))*(1-t^2)^2 + 8*t*(1-t^2) - (8*t)*(1+t^2) - 4*(1-t^2)*(1+t^2) = 0$
e cosi' via....
prova a sostituire $senx$ e $cosx$ con le formule parametriche:
$2 + sqrt(3) + (8*t*(1-t^2))/((1+t^2)^2) - (8*t)/(1+t^2) - (4*(1-t^2))/(1+t^2) = 0$
m.c.m.
$(2 + sqrt(3))*(1-t^2)^2 + 8*t*(1-t^2) - (8*t)*(1+t^2) - 4*(1-t^2)*(1+t^2) = 0$
e cosi' via....
"vitus":
ciao,
non riscro a risolvere quest'eq simmetrica:
$2+sqr(3) +4(senxcosx-senx-cosx)=0$
I risultati sono:
x= 30+k360, x=60+k360, x=108...+k360, x=-18...+k360
grazie
$x=pi/4+z$ da cui
$sinx=sin(pi/4+z)=sin(pi/4)cosz+cos(pi/4)sinz=(sqrt2)/2(cosz+sinz)$
$cosx=cos(pi/4+z)=cos(pi/4)cosz-sin(pi/4)sinz=(sqrt2)/2(cosz-sinz)$
$sinxcosx=1/2(cos^2z-sin^2z)=1/2(2cos^2z-1)=cos^2z-1/2$ per cui l'equazione diventa:
$2+sqrt3+4(cos^2z-1/2-sqrt2cosz)=0->4cos^2z-4sqrt2cosz+sqrt3=0->cosz=(2sqrt2+-sqrt(8-4sqrt3))/4=(2sqrt2+-sqrt2(sqrt3-1))/4$ cioè
$cosz=(sqrt2+sqrt6)/4,cosz=(3sqrt2-sqrt6)/4$
Ora $cosz=(sqrt2+sqrt6)/4->z=+-pi/12+2kpi$ mentre
$cosz=(3sqrt2-sqrt6)/4->z=+-7/20pi+2kpi$
Per cui $x=pi/4+-pi/12+2kpi->x=pi/6+2kpi=30+k*360,x=pi/3+2kpi=60+k*360$ e $x=pi/4+-7/20pi+2kpi->x=3/5pi+2kpi=108+k*360,x=-pi/10+2kpi=-18+k*360$
grazie nicola,
ho capito anche dove sbagliavo.
In quest'altra eq. :
$sen (2/9pigreca+x) cos (1/9pigreca+x)=sqr(3)
dopo aver applicato werner e sviluppato i calcoli mi viene 7/18pigreca e x=2/9pigrec invece di x=11/18pigreca e -2/9pigreca.
Dove sbaglio?
ho capito anche dove sbagliavo.
In quest'altra eq. :
$sen (2/9pigreca+x) cos (1/9pigreca+x)=sqr(3)
dopo aver applicato werner e sviluppato i calcoli mi viene 7/18pigreca e x=2/9pigrec invece di x=11/18pigreca e -2/9pigreca.
Dove sbaglio?
"vitus":
grazie nicola,
ho capito anche dove sbagliavo.
In quest'altra eq. :
$sen (2/9pigreca+x) cos (1/9pigreca+x)=sqr(3)
dopo aver applicato werner e sviluppato i calcoli mi viene 7/18pigreca e x=2/9pigrec invece di x=11/18pigreca e -2/9pigreca.
Dove sbaglio?
$sin(2/9*pi+x)cos(1/9*pi+x)=1/2*[sin(2/9*pi+x+1/9*pi)+sin(2/9*pi+x-x-1/9*pi)]=1/2*[sin(2x+pi/3)+sin(pi/9)]$ per cui l'equazione è
$1/2*sin(pi/9)+1/2sin(2x+pi/3)=sqrt3->sin(2x+pi/3)=2sqrt3-sin(pi/9)$. Ora $2sqrt3-sin(pi/9)>1$ per cui l'equazione non ha soluzione. tra l'altro senza fare i conti il prodotto di un seno per un coseno non può mai essere superiore ad 1 per cui sin dall'inizio potevamo dire che l'equazione non aveva soluzione.
probabilmente hai scritto la traccia sbagliata. controlla
ciao
nicosa hai ragione, la traccia era sbagliata. l'esatta è
$sen (2/9pigreca+x) cos (1/9pigreca-x)=sqr(3) /2
grazie
nicosa hai ragione, la traccia era sbagliata. l'esatta è
$sen (2/9pigreca+x) cos (1/9pigreca-x)=sqr(3) /2
grazie
"vitus":
ciao
nicosa hai ragione, la traccia era sbagliata. l'esatta è
$sen (2/9pigreca+x) cos (1/9pigreca-x)=sqr(3) /2
grazie
$sin(2/9*pi+x)cos(1/9*pi-x)=1/2*[sin(2/9*pi+x+1/9*pi-x)+sin(2/9*pi+x-1/9*pi+x)]=1/2*[sin(pi/3)+sin(2x+pi/9)]$ per cui l'equazione è
$1/2*sin(pi/3)+1/2*sin(2x+pi/9)=1/2*sqrt3->1/2sin(2x+pi/3)=1/2sqrt3-1/2sin(pi/3)->sin(2x+pi/9)=-1/2sqrt3$ da cui
$2x+pi/9=4/3*pi+2kpi->x=1/2(4/3pi-1/9pi)+kpi->x=11/18*pi+kpi$ e $2x+1/9pi=-1/3*pi+2kpi->x=1/2(-1/3pi-1/9pi)+kpi=-2/9pi+kpi$
grazie mille nicola
anche qui ho qualche prob:
$5(sen^4x+cos^x)=2(1+3sen^2xcos^2x)$.
sono partito ponendo sen^4x+cos^x=1 e sviluppando. ma non viene.
il risultato ' +-Pi/3 +kpi e +-pi/6+kpi.
Come mai?
grazie
anche qui ho qualche prob:
$5(sen^4x+cos^x)=2(1+3sen^2xcos^2x)$.
sono partito ponendo sen^4x+cos^x=1 e sviluppando. ma non viene.
il risultato ' +-Pi/3 +kpi e +-pi/6+kpi.
Come mai?
grazie
"vitus":
grazie mille nicola
anche qui ho qualche prob:
$5(sen^4x+cos^x)=2(1+3sen^2xcos^2x)$.
sono partito ponendo sen^4x+cos^x=1 e sviluppando. ma non viene.
il risultato ' +-Pi/3 +kpi e +-pi/6+kpi.
Come mai?
grazie
$5(sin^4x+cos^4x)=2(1+3sin^2xcos^2x)$.
Inizia col fare così: sommiamo al primo e secondo membro un addendo del tipo $10sin^2x*cos^2x$ ottenendo
$5(sin^4x+cos^4x)+10sin^2x*cos^2x=2(1+3sin^2xcos^2x)+10sin^2x*cos^2x$ da cui
$5(sin^4x+cos^4x+2sin^2xcos^2x)=2+16sin^2xcos^2x->5(sin^2x+cos^2x)^2=2+16sin^2xcos^2x->5=2+16sin^2xcos^2x$ $->$ $3=16sin^2xcos^2x->3=(4sinxcosx)^2->3=(2sin2x)^2->sin2x=+-(sqrt3)/2$
Ora $sin2x=1/2sqrt3->2x=pi/3+2kpi->x=pi/6+kpi,2x=2/3pi+2kpi->x=pi/3+kpi$ mentre
$sin2x=-1/2sqrt3->2x=-2/3pi+2kpi->x=-pi/3+kpi,2x=-pi/3+2kpi->x=-pi/6+kpi$ per cui le soluzioni sono
$x=+-pi/6+kpi,x=+-pi/3+kpi, k in ZZ$
E' ovvio che non abbiamo sfruttato la simmetria, ma in tal caso la sostituzione $x=z+pi/4$ comporterebbe calcoli onerosi, ma se la devi risolvere come una simmetrica te lo farò vedere pure in quest'altro modo.
N.B: $sin^kx+cos^kx!=1 AA k!=2$ cioè $sin^4x+cos^4x!=1$
scusa,
ma nell'eq precedente $sin(2/9*pi+x)cos(1/9*pi-x)=1/2*[sin(2/9*pi+x+1/9*pi-x)+sin(2/9*pi+x-1/9*pi+x)]=1/2*[sin(pi/3)+sin(2x+pi/9)]$ per cui l'equazione è
$1/2*sin(pi/3)+1/2*sin(2x+pi/9)=1/2*sqrt3->1/2sin(2x+pi/3)=1/2sqrt3-1/2sin(pi/3)->sin(2x+pi/9)=-1/2sqrt3$ da cui
$2x+pi/9=4/3*pi+2kpi->x=1/2(4/3pi-1/9pi)+kpi->x=11/18*pi+kpi$ e $2x+1/9pi=-1/3*pi+2kpi->x=1/2(-1/3pi-1/9pi)+kpi=-2/9pi+kpi$
viene
sin(2x+pi/9)=+1/2sqrt3$ (e non sin(2x+pi/9)=-1/2sqrt3)$
come fa ad uscire il segno - considerato che 1/2sin(pi/3)=1/4?
grazie ancora, sei gentilissimo
ma nell'eq precedente $sin(2/9*pi+x)cos(1/9*pi-x)=1/2*[sin(2/9*pi+x+1/9*pi-x)+sin(2/9*pi+x-1/9*pi+x)]=1/2*[sin(pi/3)+sin(2x+pi/9)]$ per cui l'equazione è
$1/2*sin(pi/3)+1/2*sin(2x+pi/9)=1/2*sqrt3->1/2sin(2x+pi/3)=1/2sqrt3-1/2sin(pi/3)->sin(2x+pi/9)=-1/2sqrt3$ da cui
$2x+pi/9=4/3*pi+2kpi->x=1/2(4/3pi-1/9pi)+kpi->x=11/18*pi+kpi$ e $2x+1/9pi=-1/3*pi+2kpi->x=1/2(-1/3pi-1/9pi)+kpi=-2/9pi+kpi$
viene
sin(2x+pi/9)=+1/2sqrt3$ (e non sin(2x+pi/9)=-1/2sqrt3)$
come fa ad uscire il segno - considerato che 1/2sin(pi/3)=1/4?
grazie ancora, sei gentilissimo
"vitus":
scusa,
ma nell'eq precedente $sin(2/9*pi+x)cos(1/9*pi-x)=1/2*[sin(2/9*pi+x+1/9*pi-x)+sin(2/9*pi+x-1/9*pi+x)]=1/2*[sin(pi/3)+sin(2x+pi/9)]$ per cui l'equazione è
$1/2*sin(pi/3)+1/2*sin(2x+pi/9)=1/2*sqrt3->1/2sin(2x+pi/3)=1/2sqrt3-1/2sin(pi/3)->sin(2x+pi/9)=-1/2sqrt3$ da cui
$2x+pi/9=4/3*pi+2kpi->x=1/2(4/3pi-1/9pi)+kpi->x=11/18*pi+kpi$ e $2x+1/9pi=-1/3*pi+2kpi->x=1/2(-1/3pi-1/9pi)+kpi=-2/9pi+kpi$
viene
sin(2x+pi/9)=+1/2sqrt3$ (e non sin(2x+pi/9)=-1/2sqrt3)$
come fa ad uscire il segno - considerato che 1/2sin(pi/3)=1/4?
grazie ancora, sei gentilissimo
$sin(pi/3)=1/2*sqrt3$
continuo a non trovarmi,
partendo da $1/2⋅sin(π3)+1/2⋅sin(2x+π9)=1/2⋅sqrt3→1/2sin(2x+π3)=1/2sqrt3-1/2sin(π3)$
→$sin(2x+π9)=-1/2sqrt3$ come fa a diventare da $sin(2x+pi/9) a sin(2x+pi/3)$?
poi:
$1/2sqrt3-1/2sin(π3)=1/2sqrt3-1/4sqrt3=1/2sqrt3$
come esce il -?
scusami l'insistenza ma mi sono piantato!
partendo da $1/2⋅sin(π3)+1/2⋅sin(2x+π9)=1/2⋅sqrt3→1/2sin(2x+π3)=1/2sqrt3-1/2sin(π3)$
→$sin(2x+π9)=-1/2sqrt3$ come fa a diventare da $sin(2x+pi/9) a sin(2x+pi/3)$?
poi:
$1/2sqrt3-1/2sin(π3)=1/2sqrt3-1/4sqrt3=1/2sqrt3$
come esce il -?
scusami l'insistenza ma mi sono piantato!
"vitus":
continuo a non trovarmi,
partendo da $1/2⋅sin(π3)+1/2⋅sin(2x+π9)=1/2⋅sqrt3→1/2sin(2x+π3)=1/2sqrt3-1/2sin(π3)$
→$sin(2x+π9)=-1/2sqrt3$ come fa a diventare da $sin(2x+pi/9) a sin(2x+pi/3)$?
poi:
$1/2sqrt3-1/2sin(π3)=1/2sqrt3-1/4sqrt3=1/2sqrt3$
come esce il -?
scusami l'insistenza ma mi sono piantato!
$1/2*sin(pi/3)+1/2*sin(2x+pi/9)=1/2*sqrt3->1/2*sin(2x+pi/9)=1/2sqrt3-1/2sin(pi/3)->sin(2x+pi/9)sqrt3-sin(pi/3)=1/2sqrt3$, quindi
$sin(2x+pi/9)=1/2sqrt3$ cioè
$2x+pi/9=pi/3+2kpi->x=pi/9+kpi$ e $2x+pi/9=2/3pi+2kpi->x=5/18pi+kpi,k in ZZ$
il risultato del libro è 11/18pi +2kpi e-2/9pi+2k, nemmeno io mi trovo.
forse è sbagliato il risultato?
Mi aiutate anche per queste 2 eq?
1) $sen 2x-1=(2+sqrt3)cos (pi-2x)$ il risultato è:pi/2+2kpi e 5pi/6 + 2 k pi. A me esce pi/2+2kpi e 5pi/6 +2kpi. ho sostituito a (2+sqrt3) tan(5pi/12) e sviluppato i calcoli, ma si trova in parte.
2) $sqrt(2)[sen(pi-2x)+sen(pi/2 -2x)]+sen2(pi-2x)=1$ il ris è:pi/8 +2kpi e 3pi/8 +2kpi.
grazie in anticipo!!
forse è sbagliato il risultato?
Mi aiutate anche per queste 2 eq?
1) $sen 2x-1=(2+sqrt3)cos (pi-2x)$ il risultato è:pi/2+2kpi e 5pi/6 + 2 k pi. A me esce pi/2+2kpi e 5pi/6 +2kpi. ho sostituito a (2+sqrt3) tan(5pi/12) e sviluppato i calcoli, ma si trova in parte.
2) $sqrt(2)[sen(pi-2x)+sen(pi/2 -2x)]+sen2(pi-2x)=1$ il ris è:pi/8 +2kpi e 3pi/8 +2kpi.
grazie in anticipo!!
"vitus":
il risultato del libro è 11/18pi +2kpi e-2/9pi+2k, nemmeno io mi trovo.
forse è sbagliato il risultato?
Mi aiutate anche per queste 2 eq?
1) $sen 2x-1=(2+sqrt3)cos (pi-2x)$ il risultato è:pi/2+2kpi e 5pi/6 + 2 k pi. A me esce pi/2+2kpi e 5pi/6 +2kpi. ho sostituito a (2+sqrt3) tan(5pi/12) e sviluppato i calcoli, ma si trova in parte.
2) $sqrt(2)[sen(pi-2x)+sen(pi/2 -2x)]+sen2(pi-2x)=1$ il ris è:pi/8 +2kpi e 3pi/8 +2kpi.
grazie in anticipo!!
il risultato del libro è 11/18pi +2kpi e-2/9pi+2k, nemmeno io mi trovo. forse è sbagliato il risultato?
il risultato del libro è errato, mathematica mi dà le stesse soluzioni che ho ricavato io $x=pi/9+kpi$ e $x=5/18pi+kpi$, $k in ZZ$
$sin (2x)-1=(2+sqrt3)cos (pi-2x)$ se è questa, $pi/2+2kpi$ non è soluzione, e si vede per sostituzione diretta
rettifico:
1) $sen 2x-1=(2+sqrt3)cos (pi-2x)$ il risultato è:pi/2+2kpi e 5pi/6 + 2 k pi. A me esce pi/4+2kpi (avevo scritto pi/2) e 5pi/6 +2kpi. ho sostituito a (2+sqrt3) tan(5pi/12) e sviluppato i calcoli, ma si trova in parte.
Pichè il libri indica pi/2 desumo che sia sbagliato.
1) $sen 2x-1=(2+sqrt3)cos (pi-2x)$ il risultato è:pi/2+2kpi e 5pi/6 + 2 k pi. A me esce pi/4+2kpi (avevo scritto pi/2) e 5pi/6 +2kpi. ho sostituito a (2+sqrt3) tan(5pi/12) e sviluppato i calcoli, ma si trova in parte.
Pichè il libri indica pi/2 desumo che sia sbagliato.
"vitus":
rettifico:
1) $sen 2x-1=(2+sqrt3)cos (pi-2x)$ il risultato è:pi/2+2kpi e 5pi/6 + 2 k pi. A me esce pi/4+2kpi (avevo scritto pi/2) e 5pi/6 +2kpi. ho sostituito a (2+sqrt3) tan(5pi/12) e sviluppato i calcoli, ma si trova in parte.
Pichè il libri indica pi/2 desumo che sia sbagliato.
$sen 2x-1=(2+sqrt3)cos (pi-2x)$: il risultato è $x=pi/4+kpi,x=5/6pi+kpi, k in Z$
perfetto mi trovo,
è sbagliato il libro. meno male stavo impazzendo. avrò rifatto l'esercizio 100 volte.
grazie ancora
è sbagliato il libro. meno male stavo impazzendo. avrò rifatto l'esercizio 100 volte.
grazie ancora
$sqrt(2)[sin(pi-2x)+sen(pi/2 -2x)]+sin2(pi-2x)=1$
Allora $sin(pi-2x)=sin(2x),sin(pi/2-2x)=cos(2x),sin(2(pi-2x))=sin(2pi-4x)=-sin4x=-2sin(2x)cos(2x),1=sin^2(2x)+cos^2(2x)$ per cui si ha:
$sqrt2*(sin(2x)+cos(2x))-2sin(2x)cos(2x)-(sin^2(2x)+cos^2(2x))=0$ cioè
$sqrt2*(sin(2x)+cos(2x))-(sin(2x)+cos(2x))^2=0->(sin2x+cos2x)(sqrt2-sin2x-cos2x)=0->sin2x+cos2x=0,sin2x+cos2x=sqrt2$.
Ora $sin2x+cos2x=0->cos2x(tg2x+1)=0->cos2x=0,tg2x=-1$.
Ora $cos2x=0$ va scartata per l'esistenza della $tg2x$ e rimane allora $tg2x=-1->2x=3/4pi+kpi->x=3/8pi+kpi/2$.
Ora invece $sin2x+cos2x=sqrt2$ è semplice perchè è vera quando $cos2x=sin2x=1/2sqrt2$ e quindi quando $2x=pi/4+2kpi->x=pi/8+kpi$.
In conclusione le soluzioni sono $x=pi/8+kpi,x=3/8pi+kpi/2,k in ZZ$
Allora $sin(pi-2x)=sin(2x),sin(pi/2-2x)=cos(2x),sin(2(pi-2x))=sin(2pi-4x)=-sin4x=-2sin(2x)cos(2x),1=sin^2(2x)+cos^2(2x)$ per cui si ha:
$sqrt2*(sin(2x)+cos(2x))-2sin(2x)cos(2x)-(sin^2(2x)+cos^2(2x))=0$ cioè
$sqrt2*(sin(2x)+cos(2x))-(sin(2x)+cos(2x))^2=0->(sin2x+cos2x)(sqrt2-sin2x-cos2x)=0->sin2x+cos2x=0,sin2x+cos2x=sqrt2$.
Ora $sin2x+cos2x=0->cos2x(tg2x+1)=0->cos2x=0,tg2x=-1$.
Ora $cos2x=0$ va scartata per l'esistenza della $tg2x$ e rimane allora $tg2x=-1->2x=3/4pi+kpi->x=3/8pi+kpi/2$.
Ora invece $sin2x+cos2x=sqrt2$ è semplice perchè è vera quando $cos2x=sin2x=1/2sqrt2$ e quindi quando $2x=pi/4+2kpi->x=pi/8+kpi$.
In conclusione le soluzioni sono $x=pi/8+kpi,x=3/8pi+kpi/2,k in ZZ$
"vitus":
perfetto mi trovo,
è sbagliato il libro. meno male stavo impazzendo. avrò rifatto l'esercizio 100 volte.
grazie ancora
attento alle periodicità
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