Eq. differenziali

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27 mag 2006, 15:25

Ho appena iniziato lo studio delle eq. differenziali e ho un dubbio.
Come soluzione all' equazione $u^{\prime}(t)=f(t)$ il libro dà $u(t)=\int_a^tf(s)ds$, ma non dovrebbe essere $u(t)=\intf(t)dt$?
In tal caso infatti $D(\intf(t)dt)=f(t)=u^{\prime}(t)$
E poi da dove salta fuori quella $a$?

Risposte

carlo232

27 mag 2006, 13:42

"eafkuor":
Ho appena iniziato lo studio delle eq. differenziali e ho un dubbio.
Come soluzione all' equazione $u^{\prime}(t)=f(t)$ il libro dà $u(t)=\int_a^tf(s)ds$, ma non dovrebbe essere $u(t)=\intf(t)dt$?
In tal caso infatti $D(\intf(t)dt)=f(t)=u^{\prime}(t)$
E poi da dove salta fuori quella $a$?

Quella $a$ è una costante arbitraria. Infatti noi vogliamo trovare si una soluzione, ma che sia più generale possibile!

Puoi verificare che $D \int_a^tf(s)ds=f(t)$ per ogni costante $a$, molto più generale di $D(\intf(t)dt)=f(t)=u^{\prime}(t)$

Luca.Lussardi

27 mag 2006, 13:54

E' corretto quanto dice il testo, ed è scorretto scrivere
$u(t)=\int f(t)dt$,
in quanto l'integrale indefinito è solo una scrittura che denota l'insieme delle primitive di una funzione, per cui non ha senso la scrittura di sopra. Il vero integrale è solo quello definito, e tutte le soluzioni dell'equazione data sono date da
$u(t)=int_a^t f(s)ds$, al variare di $a$.

eafkuor1

27 mag 2006, 22:34

Però dopo nello sviluppare la teoria viene usato l'integrale indefinito, come mai?

Per esempio

$u^{\prime}(t)=a(t)f(u(t))$

viene risolta dividendo per $f(u)$ e integrando

$\int((u^{\prime}(t))/(f(u(t))))dt=\inta(t)dt$
ecc..

Forse viene data per scontata la scrittura con la variabile $a$?

Luca.Lussardi

28 mag 2006, 07:09

E' un abuso di notazione, che però funziona quando uno fa i conti per conto suo, giusto per avere l'idea di come vanno le cose.

Ma quando le cose vanno scritte per bene, è meglio evitare l'uso dell'integrale indefinito.