Ennesima difficoltà con le moltiplicazioni tra frazioni alg.
Ho riscontrato una difficoltà nel risolvere questa moltiplicazione tra frazioni:
$(2x^2-3xy-2y^2)/(3x^2-4xy+y^2)*(3x^2-2xy-y^2)/(x^2+xy-6y^2)$
Ho applicato direttamente la semplificazione, però il risultato non mi viene.
Risultato della moltiplicazione: $((2x+y)(3x+y))/((3x-y)(x+3y))$
Vi ringrazio davvero tanto
$(2x^2-3xy-2y^2)/(3x^2-4xy+y^2)*(3x^2-2xy-y^2)/(x^2+xy-6y^2)$
Ho applicato direttamente la semplificazione, però il risultato non mi viene.
Risultato della moltiplicazione: $((2x+y)(3x+y))/((3x-y)(x+3y))$
Vi ringrazio davvero tanto
Risposte
Devi solo fattorizzare tutti i "pezzi" [se possibile] e poi semplificare ciò che si può. Controlla i tuoi calcoli e, se non trovi errori, scrivili qui.
"rondinella97":
Ho riscontrato una difficoltà nel risolvere questa moltiplicazione tra frazioni:
$(2x^2-3xy-2y^2)/(3x^2-4xy+y^2)*(3x^2-2xy-y^2)/(x^2+xy-6y^2)$
Ho applicato direttamente la semplificazione, però il risultato non mi viene.
Risultato della moltiplicazione: $((2x+y)(3x+y))/((3x-y)(x+3y))$
Vi ringrazio davvero tanto
Se scomponi trovi che
$2x^2-3xy-2y^2=(x - 2y)·(2x + y)$
$3x^2-4xy+y^2=(x - y)·(3x - y)$
$3x^2-2xy-y^2=(x - y)·(3x + y)$
$x^2+xy-6y^2=(x - 2y)·(x + 3y)$.
Quindi
$(2x^2-3xy-2y^2)/(3x^2-4xy+y^2)*(3x^2-2xy-y^2)/(x^2+xy-6y^2)=((x - 2y)·(2x + y))/((x - y)·(3x - y))*((x - y)·(3x + y))/((x - 2y)·(x + 3y))=((2x+y)(3x+y))/((3x-y)(x+3y))$.
Raptorista, non capisco cosa intendi per "fattorizzare"
Scusate ma davvero non ho compreso gli aiuti che ho ricevuto per risolvere questa moltiplicazione fra frazioni algebriche è possibile avere un ulteriore spiegazione più dettagliata?
Grazie, per favore aiutatemi mi sbloccherebbe un po di più la situazione.
Non ho trovato esempi simili nell'area delle video-lezioni.
$(2x^2-3xy-2y^2)/(3x^2-4xy+y^2)*(3x^2-2xy-y^2)/(x^2+xy-6y^2)$
è possibile avere un ulteriore spiegazione più dettagliata?Grazie, per favore aiutatemi mi sbloccherebbe un po di più la situazione.
Non ho trovato esempi simili nell'area delle video-lezioni.
$(2x^2-3xy-2y^2)/(3x^2-4xy+y^2)*(3x^2-2xy-y^2)/(x^2+xy-6y^2)$
Allora.. Il tutto gira intorno al fatto che non puoi semplificare espressioni che sono nella forma \((a + b)\) ma solo espressioni nella forma \(a \cdot b\). Detto questo, devi prendere i tuoi due numeratori ed i due denominatori e cercare di riscriverli come prodotti di pezzi più piccoli [ad esempio, come se scrivessi \(x^2 - (a+b)x + (ab)\) come \((x-a)(x-b)\)].
Una volta fatto questo puoi semplificare.
Se ciò non è possibile, devi moltiplicare le frazioni nella maniera convenzionale, ed armarti di molta pazienza!
Una volta fatto questo puoi semplificare.
Se ciò non è possibile, devi moltiplicare le frazioni nella maniera convenzionale, ed armarti di molta pazienza!
Quello che devi fare, come ti suggeriva Raptorista, è cercare di scomporre in fattori (= "fattorizzare") i numeratori e i denominatori delle frazioni, per vedere se è possibile poi semplificarli fra di loro.
Per esempio, se cominci a provare a scomporre $2x^2-3xy-2y^2$, vedi che lo puoi scrivere come $2x^2-4xy+xy-2y^2$. Se raccogli a gruppi, ottieni prima $2x(x - 2y) + y(x-2y)$, raccogliendo $2x$ fra i primi due termini e $y$ fra il terzo e il quarto, e poi $(x - 2y)·(2x + y)$ raccogliendo nuovamente $(x - 2y)$.
Quindi in definitiva
$2x^2-3xy-2y^2=(x - 2y)·(2x + y)$.
Poi scrivi $3x^2-4xy+y^2$ come $3x^2-3xy-xy+y^2$, che è uguale a $3x(x-y)-y(x-y)$ e poi a $(x-y)·(3x-y)$.
Quindi
$3x^2-4xy+y^2=(x-y)·(3x-y)$.
$3x^2-2xy-y^2=3x^2-3xy+xy-y^2=3x(x-y)+y(x-y)=(x-y)·(3x+y)$.
$x^2+xy-6y^2=x^2+3xy-2xy-6y^2=x(x+3y)-2y(x+3y)=(x-2y)·(x+3y)$.
Di conseguenza il prodotto lo puoi riscrivere così
$(2x^2-3xy-2y^2)/(3x^2-4xy+y^2)*(3x^2-2xy-y^2)/(x^2+xy-6y^2)=((x - 2y)·(2x + y))/((x - y)·(3x - y))*((x - y)·(3x + y))/((x - 2y)·(x + 3y))$
Se semplifichi i fattori che compaiono a numeratore e denominatore (cioè $(x-2y)$ e $(x-y)$), ti rimane che il risultato di quel prodotto è appunto uguale a
$((2x+y)(3x+y))/((3x-y)(x+3y))$.
Per esempio, se cominci a provare a scomporre $2x^2-3xy-2y^2$, vedi che lo puoi scrivere come $2x^2-4xy+xy-2y^2$. Se raccogli a gruppi, ottieni prima $2x(x - 2y) + y(x-2y)$, raccogliendo $2x$ fra i primi due termini e $y$ fra il terzo e il quarto, e poi $(x - 2y)·(2x + y)$ raccogliendo nuovamente $(x - 2y)$.
Quindi in definitiva
$2x^2-3xy-2y^2=(x - 2y)·(2x + y)$.
Poi scrivi $3x^2-4xy+y^2$ come $3x^2-3xy-xy+y^2$, che è uguale a $3x(x-y)-y(x-y)$ e poi a $(x-y)·(3x-y)$.
Quindi
$3x^2-4xy+y^2=(x-y)·(3x-y)$.
$3x^2-2xy-y^2=3x^2-3xy+xy-y^2=3x(x-y)+y(x-y)=(x-y)·(3x+y)$.
$x^2+xy-6y^2=x^2+3xy-2xy-6y^2=x(x+3y)-2y(x+3y)=(x-2y)·(x+3y)$.
Di conseguenza il prodotto lo puoi riscrivere così
$(2x^2-3xy-2y^2)/(3x^2-4xy+y^2)*(3x^2-2xy-y^2)/(x^2+xy-6y^2)=((x - 2y)·(2x + y))/((x - y)·(3x - y))*((x - y)·(3x + y))/((x - 2y)·(x + 3y))$
Se semplifichi i fattori che compaiono a numeratore e denominatore (cioè $(x-2y)$ e $(x-y)$), ti rimane che il risultato di quel prodotto è appunto uguale a
$((2x+y)(3x+y))/((3x-y)(x+3y))$.
Grazie mille Chiaraotta! 
Ho capito che i tre termini, rispettivamente dei numeratori e dei denominatori li devo portare a quattro termini, operando sul termine senza esponenti.
Quindi in base a quanto ho capito, io posso scomporre questo polinomio;
$6a^2-13a+6$
nel seguente modo :
$6a^2-12a-a+6$
e continuando ottengo:
$a(6a-1)-2(6a-1)$
ed infine:
$(6a-1)(a-2)$
Può essere questo un esempio di cui tenere conto se è giusto?
Ho capito che i tre termini, rispettivamente dei numeratori e dei denominatori li devo portare a quattro termini, operando sul termine senza esponenti.Quindi in base a quanto ho capito, io posso scomporre questo polinomio;
$6a^2-13a+6$
nel seguente modo :
$6a^2-12a-a+6$
e continuando ottengo:
$a(6a-1)-2(6a-1)$
ed infine:
$(6a-1)(a-2)$
Può essere questo un esempio di cui tenere conto se è giusto?
"rondinella97":
Quindi in base a quanto ho capito, io posso scomporre questo polinomio;
$6a^2-13a+6$
nel seguente modo :
$6a^2-12a-a+6$
e continuando ottengo:
$a(6a-1)-2(6a-1)$
ed infine:
$(6a-1)(a-2)$
Può essere questo un esempio di cui tenere conto se è giusto?
C'è un errore. Prova a riscriverlo così:
$6a^2-9a-4a+6$
"rondinella97":
....
Quindi in base a quanto ho capito, io posso scomporre questo polinomio;
$6a^2-13a+6$
nel seguente modo :
$6a^2-12a-a+6$
Fin qui è giusto, ma non è utile perché il passo successivo che fai è sbagliato ....
"rondinella97":
...
e continuando ottengo:
$a(6a-1)-2(6a-1)$
No, se esegui il prodotto ottieni che
$a(6a-1)-2(6a-1)= 6a^2 -a -12a +2=6a^2-13a+2$
che è diverso dal polinomio che avevi.
La scomposizione funzionerebbe se tu avessi avuto
$6a^2-13a+2=6a^2-a-12a+2=a(6a-1)-2(6a-1)=(a-2)*(6a-1)$.
C'è un modo più rapido per scomporre un trinomio di II grado. Basta considerare una delle 2 variabili, es. la y, come un coefficiente, risolvere l'equazione associata con la nota formula e poi applicare la regola:
$ ax^2+ bx+c = a(x-x')(x-x'')$
es.
$3x^2-2xy-y^2 = (2y+_(-) sqrt(4y^2+12y^2))/6 $ che dà $x'=y, x''=-1/3y $
quindi $3x^2-2xy-y^2= 3(x-y)(x+1/3*y)$ che dopo semplici calcoli porta al risultato $(x-y)(3x+y)$
$ ax^2+ bx+c = a(x-x')(x-x'')$
es.
$3x^2-2xy-y^2 = (2y+_(-) sqrt(4y^2+12y^2))/6 $ che dà $x'=y, x''=-1/3y $
quindi $3x^2-2xy-y^2= 3(x-y)(x+1/3*y)$ che dopo semplici calcoli porta al risultato $(x-y)(3x+y)$
Ok, chiaro
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