Ellisse x^2/4+y^2/7=1

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E' data l'ellisse di equazione x^2/4+y^2/7=1.
Calcola il rapporto fra le aree del rettangolo circoscritto all'ellisse e di quello inscritto nell'ellisse che ha i lati proporzionali e paralleli a quelli del rettangolo circoscritto.
Dimostra che il risultato ottenuto sarebbe stato lo stesso per qualsiasi altra ellisse.
RISULTATI: Il rapporto è 2

Ringrazio anticipatamente per la risposta.

[BIT5]

Ricordando che l'equazione dell'ellisse e' genericamente

[math] \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1 [/math]

Con centro nell'origine e fuochi sull'asse x.

Dove a e b sono rispettivamente i punti di intersezione con l'asse delle ascisse e quello delle ordinate, avremo che l'ellisse interseca gli assi nei punti

[math] A_1(2,0) \ A_2(-2,0) \ B_1(0, \sqrt7} \ B_2(0,- \sqrt7)[/math]

Pertanto le lunghezze di base e altezza del rettangolo saranno

[math] b= \sqrt{(2-(-2))^2}=4 [/math]

e

[math] h=2 \sqrt7 [/math]

e pertanto la superficie sara'

[math] A=8 \sqrt7 [/math]

Vediamo ora il rettangolo inscritto.

questo avra' i vertici sull'ellisse, inoltre i vertici avranno stessa ascissa (a due a due) e stessa ordinata (a 2 a 2).

Infine i lati dovranno essere in proporzione a quelli del rettangolo circoscritto.

Preso un punto generico appartenente all'ellisse

[math] x_0, y_0 [/math]

Dal momento che l'ellisse e' simmetrica rispetto ad entrambi gli assi, possiamo rappresentarli cosi':

[math] A(x_0,y_0) [/math]

[math] B(x_0,-y_0) [/math]

[math] C(-x_0,-y_0) [/math]

[math] D(-x_0,y_0) [/math]

La base e l'altezza generica saranno

[math] b=2x_0 [/math]

e

[math] h=2y_0 [/math]

I punti dovranno giacere sull'ellisse, quindi

[math] \frac{x^2}{4}+ \frac{y^2}{7}=1 \to y^2=7- \frac{7x^2}{4} \to y= \pm \sqrt{7- \frac{7x^2}{4}} [/math]

Pertanto

[math] b=2x_0 [/math]

e

[math] h= 2 \sqrt{7- \frac{7x_0^2}{4}} [/math]

Occorrera' ora che i lati siano in proporzione con quelli del rettangolo circoscritto:

[math] 2x_0 : 4 = 2 \sqrt{7- \frac{7x_0^2}{4}} : 2\sqrt7 [/math]

Da cui moltiplicando gli estremi

[math] 4x_0 \sqrt7 = 8 \sqrt{7- \frac{7x_0^2}{4}} [/math]

e semplificando

[math] x_0 \sqrt7=2 \sqrt{7- \frac{7x_0^2}{4}} [/math]

Eleviamo al quadrato

[math] 7x_0^2=4 \(7- \frac{7x_0^2}{4} \) \to 7x_0^2=28-7x_0^2 \to \\ \to 14x_0^2=28 \to x= \pm \sqrt2 [/math]

Pertanto la base sara'

[math] 2 \sqrt2 [/math]

e l'altezza

[math] 2 \sqrt{7- 7 \frac{14}{4}}= 2 \sqrt{\frac{7}{2}} [/math]

L'area dunque sara'

[math] 2 \sqrt2 \cdot 2 \sqrt{ \frac{7}{2}} = 4 \sqrt7 [/math]

E pertanto il rapporto

[math] \frac{A_C}{A_I}= \frac{ 8 \sqrt7}{4 \sqrt7}= 2 [/math]

In caso di ellisse generica

[math] \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1 [/math]

L'area del rettangolo circoscritto sarebbe stata:

[math] A_C=4ab [/math]

Mentre, per analogo ragionamento al precedente, l'area di quello inscritto sarebbe stata:

[math] x_0:a= \sqrt{ b^2- \frac{b^2x^2}{a^2}} : b [/math]

Da cui

[math] bx_0=a \sqrt{ b^2- \frac{b^2x^2}{a^2}} [/math]

E dunque

[math] b^2x_0^2=a^2 \( b^2- \frac{b^2x^2}{a^2} \) \to \\ \to b^2x_0^2=a^2b^2-b^2x_0^2 \to 2b^2x_0^2=a^2b^2 \to x_0^2=\frac{a^2}{2} \to x= \frac{a}{\sqrt2}[/math]

E dunque eseguendo la sostituzione

[math] y= \frac{b}{\sqrt2} [/math]

E pertanto l'Area

[math] 2x \cdot 2y= 2 \frac{a}{\sqrt2} \cdot 2 \frac{b}{\sqrt2}= \frac{4ab}{2}=2ab [/math]

E il rapporto delle superfici:

[math] \frac{a_C}{A_I}= \frac{4ab}{2ab}=2 [/math]

.

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Grazie