Ellisse regola dello sdoppiamento domanda teorica
Ciao a tutti,
devo rispondere a questa domanda:
"Qual è il significato geometrico della regola dello sdoppiamento applicata all'ellisse" ?
io so solo che per trovare una tangente a un'ellisse devo applicare la formula:
$[x(xp)]/a^2+[y(yp)]/b^2=1$
ovvero che per trovare una tangente di un punto appartenente all'ellisse mi basta sostituire le coordinate del punto di tangenza alle $x^2$ e $y^2$ e moltiplicarli rispettivamente per $x$ e $y$.
Analizzando la formula dell'ellisse con centro 0 e assi paralleli a quelli cartesiani:
$x^2/a^2+y^2/b^2=1$
$x^2$:indica la variabile dell'ascissa di un punto,il fatto che sia al quadrato suppongo sia dovuto al fatto che non solo l'ascissa di quel punto appartiene sicuramente all'ellisse,ma anche tutti gli altri 3 punti che hanno solo differente segno;
$y^2$:indica la variabile dell'ordinata di un punto,(il discorso del quadrato è analogo a quello sopra.)
$a^2$:indica la variabile della lunghezza,al quadrato,del semiasse posto sull'asse delle ascisse,il fatto che sia al quadrato suppongo sia dovuto al fatto che il segno non conta,ma conta la lunghezza del segmento "asse":
$b^2$:indica la variabile della lunghezza,al quadrato,del semiasse posto sull'asse delle ordinate,(il discorso del quadrato è analogo a quello sopra);
Ora, per quanto riguarda la formula dello sdoppiamento,provo a dare una spiegazione:
- per prima cosa togliamo i quadrati alle variabili perchè il segno positivo o negativo è importante:la tangente deve passare proprio per quel punto di quelle determinate coordinate:
- dopo aver sostituito la $nx$ del punto alla $x^2$,senza elevare al quadrato, moltiplico la $nx$ del punto per la variabile x
- idem per quanto riguarda $ny$ del punto,
- purtroppo non ho idea del perchè si tengano $a^2$ e $b^2$,
Grazie in anticipo, e le correzioni sono ben accette
devo rispondere a questa domanda:
"Qual è il significato geometrico della regola dello sdoppiamento applicata all'ellisse" ?
io so solo che per trovare una tangente a un'ellisse devo applicare la formula:
$[x(xp)]/a^2+[y(yp)]/b^2=1$
ovvero che per trovare una tangente di un punto appartenente all'ellisse mi basta sostituire le coordinate del punto di tangenza alle $x^2$ e $y^2$ e moltiplicarli rispettivamente per $x$ e $y$.
Analizzando la formula dell'ellisse con centro 0 e assi paralleli a quelli cartesiani:
$x^2/a^2+y^2/b^2=1$
$x^2$:indica la variabile dell'ascissa di un punto,il fatto che sia al quadrato suppongo sia dovuto al fatto che non solo l'ascissa di quel punto appartiene sicuramente all'ellisse,ma anche tutti gli altri 3 punti che hanno solo differente segno;
$y^2$:indica la variabile dell'ordinata di un punto,(il discorso del quadrato è analogo a quello sopra.)
$a^2$:indica la variabile della lunghezza,al quadrato,del semiasse posto sull'asse delle ascisse,il fatto che sia al quadrato suppongo sia dovuto al fatto che il segno non conta,ma conta la lunghezza del segmento "asse":
$b^2$:indica la variabile della lunghezza,al quadrato,del semiasse posto sull'asse delle ordinate,(il discorso del quadrato è analogo a quello sopra);
Ora, per quanto riguarda la formula dello sdoppiamento,provo a dare una spiegazione:
- per prima cosa togliamo i quadrati alle variabili perchè il segno positivo o negativo è importante:la tangente deve passare proprio per quel punto di quelle determinate coordinate:
- dopo aver sostituito la $nx$ del punto alla $x^2$,senza elevare al quadrato, moltiplico la $nx$ del punto per la variabile x
- idem per quanto riguarda $ny$ del punto,
- purtroppo non ho idea del perchè si tengano $a^2$ e $b^2$,
Grazie in anticipo, e le correzioni sono ben accette
Risposte
Speravo che ti rispondesse qualcuno più qualificato di me, ma poichè non è ancora successo comincio a dirti qualcosa io. Probabilmente ne sai già molto, ma parto da zero: un po' per avere la certezza che non vi siano fraintendimenti e un po' per eventuali altri allievi che non conoscono lo sdoppiamento.
Il mio discorso vale non solo per l'ellisse, ma per ogni conica (= curva avente equazione di secondo grado). Lo sdoppiamento consiste nell'iniziare scrivendo ogni lettera due volte; faccio un esempio con una conica complicata, che non rientra fra quelle che studierai quest'anno ma che comprende tutti i casi possibili. La conica è
$3x^2+8xy-2y^2+5x+7y-4=0$
Per scrivere ogni lettera due volte faccio così:
$3x*x+4(xy+xy)-2y*y+5/2(x+x)+7/2(y+y)-4=0$
A questo punto sdoppio, cioè lascio una lettera così com'è e aggiungo all'altra l'indice che mi dice di considerare il punto P (nel termine con xy, in un addendo questo indice va ad x, nell'altro a y). Se fosse P(2,9) otterrei
$3*2*x+4(2y+9x)-2*9*y+5/2(x+2)+7/2(y+9)-4=0$
Svolgo i calcoli e ottengo l'equazione di una retta, che è detta polare di P rispetto a quella conica. Le polari godono di svariate proprietà, che per lo più esulano dal programma delle scuole medie; qui ne interessano solo due:
1) se P sta sulla conica, la polare è la tangente in P;
2) se P è esterno alla conica, la polare è la retta congiungente i punti di contatto fra la conica e le tangenti ad essa condotte da P.
Nel tuo post, mi piacciono poco le motivazioni che dai per le elevazioni a quadrato: ci sono perchè così è stato ottenuto facendo i calcoli; dalla loro presenza conseguono quelli che tu indichi come motivi.
Il mio discorso vale non solo per l'ellisse, ma per ogni conica (= curva avente equazione di secondo grado). Lo sdoppiamento consiste nell'iniziare scrivendo ogni lettera due volte; faccio un esempio con una conica complicata, che non rientra fra quelle che studierai quest'anno ma che comprende tutti i casi possibili. La conica è
$3x^2+8xy-2y^2+5x+7y-4=0$
Per scrivere ogni lettera due volte faccio così:
$3x*x+4(xy+xy)-2y*y+5/2(x+x)+7/2(y+y)-4=0$
A questo punto sdoppio, cioè lascio una lettera così com'è e aggiungo all'altra l'indice che mi dice di considerare il punto P (nel termine con xy, in un addendo questo indice va ad x, nell'altro a y). Se fosse P(2,9) otterrei
$3*2*x+4(2y+9x)-2*9*y+5/2(x+2)+7/2(y+9)-4=0$
Svolgo i calcoli e ottengo l'equazione di una retta, che è detta polare di P rispetto a quella conica. Le polari godono di svariate proprietà, che per lo più esulano dal programma delle scuole medie; qui ne interessano solo due:
1) se P sta sulla conica, la polare è la tangente in P;
2) se P è esterno alla conica, la polare è la retta congiungente i punti di contatto fra la conica e le tangenti ad essa condotte da P.
Nel tuo post, mi piacciono poco le motivazioni che dai per le elevazioni a quadrato: ci sono perchè così è stato ottenuto facendo i calcoli; dalla loro presenza conseguono quelli che tu indichi come motivi.
Prendi $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ che è una ellisse canonica. Vuoi trovare la tangente nel punto $T(x_T;y_T)$.
Trovi il fascio di rette per $T$: $y-y_T=m(x-x_T)$.
Poiché $T$ appartiene all'ellisse imponi il passaggio e trovi che $x^2/a^2+y^2/b^2=(x_T)^2/a^2+(y_T)^2/b^2$
Metti a sistema con la retta del fascio e cerchi di far venire fuori la $m$ che andrai a sostituire nella retta se ne avrai ancora le forze (io non le ho quindi mi limito a descriverti il momento di gloria). Infine dopo aver sofferto come non mai troverai la formuletta che riassume in sé tutto ciò. Qual è il significato geometrico della formula? Immagino che sia tutto ciò.
OSSERVAZIONE: il metodo generale, credo tu lo sappia, per trovare la tangente ad una curva è mettere a sistema la retta con la curva, dopodiché trovi una equazione di secondo grado, imponi il suo discriminante uguale a 0 (soluzioni coincidenti), e trovi il coefficiente angolare.
Trovi il fascio di rette per $T$: $y-y_T=m(x-x_T)$.
Poiché $T$ appartiene all'ellisse imponi il passaggio e trovi che $x^2/a^2+y^2/b^2=(x_T)^2/a^2+(y_T)^2/b^2$
Metti a sistema con la retta del fascio e cerchi di far venire fuori la $m$ che andrai a sostituire nella retta se ne avrai ancora le forze (io non le ho quindi mi limito a descriverti il momento di gloria). Infine dopo aver sofferto come non mai troverai la formuletta che riassume in sé tutto ciò. Qual è il significato geometrico della formula? Immagino che sia tutto ciò.
OSSERVAZIONE: il metodo generale, credo tu lo sappia, per trovare la tangente ad una curva è mettere a sistema la retta con la curva, dopodiché trovi una equazione di secondo grado, imponi il suo discriminante uguale a 0 (soluzioni coincidenti), e trovi il coefficiente angolare.
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